תחום ראשי

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, תחום ראשי (או תחום אידיאלים ראשיים) הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים (אידיאל ראשי של חוג קומוטטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא אידיאל מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ra = \{xa : x\in R\}} ). בתחומים ראשיים יש התאמה הדוקה בין אידיאלים לאיברים, ולכן קל יחסית לחשב בהם.

תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.

דוגמאות

כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי, ולכן חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ , חוג השלמים של גאוס $\mathbb {Z} [i]$ , וכל חוג פולינומים במשתנה יחיד מעל שדה נתון, הם חוגים ראשיים. חוג השלמים של השדה הריבועי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}[\sqrt{D}]} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מספר שלם שלילי, הוא ראשי בתשעה מקרים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163} ^[1] (מאלה רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים; הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]} , לדוגמה, ראשי ואינו אוקלידי).

חוג השלמים $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ אינו ראשי; לדוגמה, האידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle 2,1+\sqrt{-5} \rangle} אינו ראשי.

חוג הפולינומים במשתנה אחד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k[X]} הוא חוג אוקלידי ולכן חוג ראשי אך חוג הפולינומים ביותר ממשתנה אחד אינו חוג ראשי: האידיאל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle x,y\rangle} אינו ראשי כי אין פולינום המחלק את שני היוצרים שלו (והוא אינו שווה לכל החוג, כי הוא לא מכיל פולינומים ממעלה 0).

כל תחום הערכה דיסקרטית הוא תחום ראשי.

זיהוי של חוגים ראשיים

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta : D \rightarrow \mathbb{N}} היא "נורמת הסה-דדקינד" אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} שונים מאפס כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} אינו מחלק את $a$ , קיים צירוף ליניארי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} שונה מאפס, עבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(d) < \delta(b)} . בחוג אוקלידי פונקציית הדרגה מקיימת דרישות חזקות יותר. מתברר שתחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם יש לו נורמת הסה-דדקינד^[2].

כאשר החוג הוא חוג השלמים של שדה מספרים, אפשר לבדוק אם הוא חוג ראשי באמצעות שדה המחלקה של הילברט.

תכונות של תחומים ראשיים

את ההגדרה, הדורשת שלכל אידיאל יש יוצר יחיד, אפשר לפרק באופן טבעי לשני חלקים: כל אידיאל צריך להיות נוצר סופית (היינו, החוג נותרי), וכל אידיאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד (היינו, זהו תחום בזו).

ברמה האלמנטרית, של תכונות האיברים, התכונה הבולטת של תחומים ראשיים היא עובדת קיומו של פירוק יחיד לגורמים; בפרט, לכל שני איברים יש מחלק משותף מקסימלי.

כל חוג ראשי הוא תחום דדקינד. בפרט, לחוג יש ממד קרול 1 (כלומר, כל אידיאל ראשוני לא טריוויאלי הוא מקסימלי). המנה של תחום ראשי ביחס לאידיאל ראשוני, גם היא תחום ראשי.

תחום ראשי מקומי הוא רגולרי. כל חוג מקומי סופי, שבו כל האידיאלים ראשיים, הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי.

מודולים מעל תחום ראשי

מעל תחומים ראשיים מתקיימת גרסה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית: כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא סכום ישר של מודולים ציקליים. משפט המיון אינו אלא המקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = \mathbb{Z}} . מעל תחום ראשי, כל תת-מודול של מודול חופשי הוא מודול חופשי, וכל תת-מודול של סכום ישר של מודולים ציקליים, הוא סכום ישר של מודולים ציקליים ^[3].

המקרה הלא קומוטטיבי

חוג (לא קומוטטיבי) שבו כל אידיאל שמאלי נוצר על ידי איבר אחד נקרא "חוג אידיאלים שמאליים ראשי" (PLID). גולדי הוכיח שכל PLID ראשוני הוא חוג מטריצות מעל תחום אור שמאלי.

קישורים חיצוניים

תחום ראשי, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

^ מאז 1934 היה ידוע שיש לכל היותר ערך אחד נוסף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} שעבורו החוג ראשי (ושאם קיים כזה ערך, השערת רימן המוכללת אינה נכונה). ב-1955 הוכיח Heegner שהרשימה מלאה, אלא שבנימוקיו נמצאו פערים. הבעיה נסגרה ב-1962 בעבודות של Baker ו- Stark.
^ Zariski-Samuel, Cor. IV.15.2
^ Carl Faith: Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Math. Surv. Mon 65, AMS; section 1.15

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30336562תחום ראשי

[1] מאז 1934 היה ידוע שיש לכל היותר ערך אחד נוסף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} שעבורו החוג ראשי (ושאם קיים כזה ערך, השערת רימן המוכללת אינה נכונה). ב-1955 הוכיח Heegner שהרשימה מלאה, אלא שבנימוקיו נמצאו פערים. הבעיה נסגרה ב-1962 בעבודות של Baker ו- Stark.

[2] Zariski-Samuel, Cor. IV.15.2

[3] Carl Faith: Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Math. Surv. Mon 65, AMS; section 1.15

[1]

[2]

[3]