שדה המחלקה של הילברט

שדה המחלקה של הילברט, עבור שדה מספרים נתון $K$ , הוא ההרחבה הקטנה ביותר שבה כל האידיאלים בחוג השלמים של $K$ נעשים ראשיים. שדה המחלקה הוא הרחבת גלואה של $K$ , וחבורת גלואה של ההרחבה איזומורפית לחבורת המחלקות של K.

הגדרה

יהי $K$ שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ ). שדה המחלקה של הילברט $E=H(K)$ הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של $K$ .

תכונות

ההרחבה $H(K)/K$ היא הרחבת גלואה מממד סופי של $K$ ומקיימת $\left[H(K):K\right]=|\mathrm {Cl} _{K}|=h_{K}$ כאשר $\mathrm {Cl} _{k}$ היא חבורת מחלקות האידיאלים (class group) של $K$ (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידיאלים בחוג השלמים של $K$ , עם יחס השקילות שאידיאלים $A$ ו- $B$ שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידיאלים ראשיים: $A\sim B\iff \exists x,y\in {\mathcal {O}}_{K}:(x)A=(y)B$ ).
חבורת מחלקות האידיאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה: $\mathrm {Gal} \left(H(K)/K\right)\cong \mathrm {Cl} _{K}$ .
כל אידיאל ב- ${\mathcal {O}}_{K}$ הוא אידיאל ראשי ב- ${\mathcal {O}}_{H(K)}$ .
כל אידיאל ראשוני $P$ ב- ${\mathcal {O}}_{K}$ מתפרק למכפלה של $h_{K}/f$ אידיאלים ראשוניים ב- ${\mathcal {O}}_{H(K)}$ כאשר $f$ הוא הסדר של $[P]$ בחבורת מחלקות האידיאלים $\mathrm {Cl} _{K}$ .

מסקנה

מתכונות אלו ברור ש- ${\mathcal {O}}_{K}$ הוא תחום ראשי אם ורק אם $H(K)=K$ , כלומר: הוא שדה המחלקה של עצמו. במקרה זה חבורת גלואה של ההרחבה היא טריוויאלית, ואז גם חבורת מחלקות האידיאלים טריוויאלית: כלומר - כל האידיאלים בחוג השלמים הם ראשיים.