חבורה אבלית נוצרת סופית

בתורת החבורות, חבורה אבלית נוצרת סופית (Finitely generated abelian group) היא חבורה אבלית שהיא נוצרת סופית, כלומר, שאפשר ליצור את כל אבריה באמצעות פעולת הכפל, ממספר סופי של אברים נתונים, גם אם אינה סופית בעצמה. בניגוד לחבורות שאינן אבליות, שהמבנה שלהן יכול להיות מסובך ביותר, המבנה של כל החבורות האבליות הנוצרות סופית מוכר וידוע, וניתן למיין אותן באופן מלא. כל חבורה כזו מתפרקת לסכום ישר של חבורה אבלית סופית ושל מספר עותקים של החבורה הציקלית האינסופית. בתורן, החבורות האבליות הסופיות נבנות כסכומים ישרים של חבורות ציקליות סופיות. זהו משפט בסיסי בתורת החבורות הסופיות, שהרי כל חבורה סופית היא חבורה נוצרת סופית.

המשפט הוא מקרה פרטי של משפט המיון למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי.

מבוא

חבורה היא מבנה אלגברי בסיסי שמופיע במתמטיקה בהקשרים רבים ושונים, ומורכב מקבוצת איברים עם פעולה בינארית המוגדרת עליהם, ומקיימת מספר אקסיומות. עולם החבורות עשיר בדוגמאות, כגון החבורה הסימטרית $\ S_{n}$, חבורת המטריצות $\ \operatorname {GL} _{n}(F)$ מעל שדה F, או החבורה של המספרים הרציונליים ביחס לחיבור. שתי הדוגמאות הראשונות אינן אבליות, כלומר, הכפל אינו מקיים בהן את התכונה $\ ab=ba$; חבורות כאלה יכולות להיות מסובכות מאד. הדוגמה השלישית, על-אף שהיא אבלית, אינה נוצרת סופית (כל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא ציקלית).

אחד מהתחומים בהם עוסקת האלגברה המופשטת הוא סיווג של חבורות, או מבנים אלגבריים אחרים, על פי תכונותיהן. משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית מספק סיווג כזה עבור החבורות האבליות שיש להן תת-קבוצה סופית של איברים, שממנה אפשר ליצור, על ידי פעולת החבורה, את כל איברי החבורה.

המשפט מראה כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית היא, למעשה, סכום של חבורות ציקליות. מכיוון שחבורות ציקליות פשוטות מאד לתיאור, הדבר מסייע להבנה של מבנה החבורה שעליה מופעל המשפט, וכן מקל לבדוק האם שתי חבורות שהוגדרו בדרכים שונות הן בעלות אותו המבנה - על ידי השוואת ההצגה שלהן כמכפלות של חבורות ציקליות.

פיתול

בדרך-כלל מסמנים את הפעולה בחבורה אבלית בסימן החיבור, ואת האיבר הנייטרלי בסימן 0. בכל חבורה אבלית A אפשר לאסוף את האברים $\ a\in A$ שעבורם קיים $\ 0\neq n\in \mathbb {Z}$ כך ש- $\ na=0$. אלו האיברים המפותלים של החבורה, וביחד הם מהווים תת-חבורה, $\ A_{\operatorname {tor} }$. אם יש אברים כאלה (פרט ל-0), אומרים ש"יש לחבורה פיתול", ואם כל האיברים הם כאלה - החבורה מפותלת. חבורה חסרת פיתול היא חבורה ללא איברים מפותלים. חבורת המנה $\ A/A_{\operatorname {tor} }$ היא תמיד חסרת פיתול.

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית היא חסרת פיתול, ואכן, חבורה אבלית נוצרת סופית ללא פיתול מוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של מספר סופי של עותקים של חבורה זו.

מאידך, חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית, ומוכרחה להיות איזומורפית לסכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.

הדרגה

קבוצה שאפשר ליצור ממנה את כל אברי החבורה נקראת קבוצת יוצרים. גודלה של הקבוצה הקטנה ביותר היוצרת את החבורה הוא הדרגה של החבורה (לחבורה יש דרגה סופית אם ורק אם היא נוצרת סופית). למשל, דרגתה של החבורה $\ \mathbb {Z} ^{5}$ היא 5, ואילו הדרגה של $\ \mathbb {Z} /14\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /20\mathbb {Z}$ היא 2. כל חבורה אבלית מדרגה r מהווה חבורת מנה של החבורה האבלית החופשית מדרגה r, $\ \mathbb {Z} ^{r}$.

משפט המיון

משפט המיון של החבורות האבליות הנוצרות סופית קובע שכל חבורה כזו איזומורפית לחבורה יחידה מהצורה

$\ \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} _{p_{1}^{k_{1}}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{p_{n}^{k_{n}}}$,

כאשר $\ r\geq 0$ והמספרים $\ p_{1}^{k_{1}},\dots ,p_{n}^{k_{n}}$ הם חזקות (לא בהכרח שונות זו מזו) של מספרים ראשוניים.

צורת הצגה זו נקראת "צורת המחלקים האלמנטריים", והמספרים $\ p_{1}^{k_{1}},\dots ,p_{n}^{k_{n}}$ נקראים "המחלקים האלמנטריים". דרך הצגה יחידה נוספת היא באמצעות "הגורמים האינווריאנטיים": בצורת הצגה זו, $\ G$ איזומורפית לסכום הישר הבא:

$\ \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{k}}$

כאשר מתקיים יחס החלוקה הבא: $\ m_{1}|m_{2}|\dots |m_{k}$. גם צורת הצגה זו היא יחידה.

מהמשפט ניתן לראות כי כל חבורה אבלית נוצרת סופית $\ G$ מורכבת מסכום ישר של שני חלקים: החלק האחד הוא הסכום $\ \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{k}}$ שמייצג את תת חבורת הפיתול של $\ G$, כלומר את תת-החבורה הנוצרת על ידי האיברים מסדר סופי.

החלק השני בסכום הוא $\ \mathbb {Z} ^{r}$. זוהי חבורה אבלית חופשית מדרגה סופית $\ r$.

הוכחה

הוכחה פשוטה יחסית למשפט המיון נובעת מתוצאה כללית יותר בתורת המודולים, ומתבססת על כך שניתן לראות כל חבורה אבלית גם כמודול מעל החוג $\ \mathbb {Z}$.

דוגמאות

• כל חבורה אבלית סופית, נוצרת סופית (למשל, בידי קבוצת כל האיברים שלה). מכיוון שהמרכיב $\ \mathbb {Z} ^{r}$ בפירוק לעיל הוא אינסופי כאשר $\ r>0$, נובע שכל חבורה אבלית סופית איזומורפית לחבורה מהצורה $\ \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{k}}$. דוגמאות ספציפיות:
  • קיימת חבורה אבלית יחידה בת 6 איברים. בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים צורתה היא $\ \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{3}$ ואילו בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטיים צורתה היא $\ \mathbb {Z} _{6}$. לפי משפט השאריות הסיני שתי ההצגות איזומורפיות.
  • כל חבורה אבלית סופית בת 90 איברים איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:
    • בהצגה באמצעות מחלקים אלמנטריים: $\ \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{3^{2}}\oplus \mathbb {Z} _{5},\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}$
    • בהצגה באמצעות גורמים אינוריאנטים: $\ \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{30},\mathbb {Z} _{90}$
• כל חבורה אבלית חופשית נוצרת סופית איזומורפית ל-$\ \mathbb {Z} ^{r}$ עבור $\ r>0$ מסוים שהוא גודל קבוצת היוצרים שלה. קל לראות את האיזומורפיזם במקרה זה: כל אחד מיוצרי החבורה עובר ליוצר של אחד מעותקי $\ \mathbb {Z}$.
• אוסף הנקודות הרציונליות על עקום אליפטי עם פעולה מתאימה מהווה, על פי משפט מורדל-וייל, חבורה אבלית נוצרת סופית ולכן המשפט חל עליו. עבור חבורה זו יש חשיבות גדולה לדרגה של החלק החופשי, כלומר ל-$\ r$ שבחלק $\ \mathbb {Z} ^{r}$ של החבורה. השערה מפורסמת בתורת המספרים בשם השערת בירץ' וסווינרטון-דייר היא ש-$\ r$ שווה לסדר האפס של פונקציה מרוכבת מסוימת המותאמת לעקום, בנקודה $\ s=1$.