יריעה חלקה

יריעה חלקה (או יריעה דיפרנציאלית) היא יריעה טופולוגית שבה המפות מתנגשות באופן חלק, כלומר אם $\ (U,\varphi )$ ו- $\ (V,\psi )$ הן מפות אז הפונקציה $\varphi \circ \psi ^{-1}$ היא פונקציה חלקה מהמרחב האוקלידי אל עצמו. האטלס של היריעה החלקה (שהוא אוסף המפות) נקרא אטלס דיפרנציאלי. שני אטלסים נקראים שקולים אם האיחוד שלהם יוצר שוב אטלס דיפרנציאלי, כלומר המבנים שמוגדרים על ידי כל אחד מהאטלסים לא "מתנגשים" אחד בשני. (אפשר לראות בקלות שזהו באמת יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)

היריעה החלקה היא מבנה חשוב באנליזה שמאפשר הכללות של משפטים בסיסיים (כמו משפט הפונקציות הסתומות, משפט הקיום והיחידות במשוואות דיפרנציאליות רגילות וכו') מהמרחב האוקלידי.

עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה לדוגמה אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה - נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.

הגדרה נוספת

ניתן להגדיר יריעות חלקות בתור מרחבים מחויגים בעזרת אלומת הפונקציות החלקות, שאיזומורפיים למרחב האוקלידי עם אלומת הפונקציות החלקות הרגילה.

ביתר פרוט, נגדיר יריעה חלקה כזוג סדור של יריעה טופולוגית עם אלומה, שמתאימה לכל קבוצה פתוחה ביריעה תת-אלגברה של אלגברת הפונקציות הרציפות מן היריעה לממשיים. מכריזים על פונקציות ששייכות לאלגברה הזו כפונקציונלים חלקים. כמתחייב מתפקידה כאלומה, ההתאמה מקיימת שצמצום פונקציונל חלק לתת קבוצה פתוחה שוב פונקציונל חלק, וכן פונקציה רציפה שהיא פונקציונל חלק מקומית היא פונקציונל חלק. מבנה זה נקרא לעיתים מבנה פונקציונלי.

כעת ניתן להגדיר מורפיזמים של מבנים פונקציונליים: אלו הם פונקציות רציפות בין היריעות הטופולוגיות כך שהרכבת פונקציונל חלק איתן נותנת פונקציונל חלק. באופן דומה ניתן להגדיר איזומורפיזם של מבנים פונקציונליים.

מבנה פונקציונלי חשוב ובסיסי ניתן על ידי המרחב האוקלידי, המצויד באלגברת הפונקציות החלקות (גזירות אינסוף פעמים) בתור מבנה פונקציונלי. מבנה פונקציונלי שהוא איזומורפי למרחב האוקלידי (האיזומורפיזם כאן הוא של מבנים פונקציונליים) ייקרא יריעה.

הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה שניתנה כאן, כלומר ניתן לצייד באופן טבעי כל מבנה פונקציונלי שאיזומורפי למבנה האוקלידי באטלס מתאים ולהיפך, יריעה טופולוגית עם אטלס משרה אלומת פונקציות חלקות (באמצעות הרכבה עם פונקציות חלקות מהממשיים לעצמם).

דוגמאות

• $\mathbb {R} ^{n}$ הוא יריעה חלקה מממד n, על ידי מפה יחידה שפורשת את כל המרחב, יחד עם העתקת הזהות. כמו כן גם כל קבוצה פתוחה בתוך המרחב האוקלידי היא יריעה חלקה, על ידי אותה העתקה.
• הספירה ה-n ממדית, $\mathbb {S} ^{n}$- שפת כדור היחידה ה-n+1 ממדי, היא יריעה מממד n שמשוכנת במרחב האוקלידי ה-n+1 ממדי. ניתן לראות שזו יריעה על ידי ההטלה הסטיראוגרפית הבאה: נבחר נקודה אחת להיות "הקוטב הצפוני", N, לדוגמה- $N=\left(0,0,\dots ,1\right)$. נסמן את הנקודה האנטיפודית ל-N ב-S, (במקרה הזה $S=\left(0,0,\dots ,-1\right)$) ואת המישור (ה-n ממדי) המאונך לקוטר NS נסמן ב-P.

לכל נקודה חוץ מ-N נגדיר את $\varphi _{1}(X)$ להיות הנקודה (היחידה) הנוצרת מהחיתוך של הקו הישר XN עם המישור P. כדי "למפות" גם את N נבנה מפה שנייה באותה צורה רק שנחליף את התפקידים של N ו-S כלומר הפעם הקו הישר שנחתך עם P יהיה XS. מהבניה נובע שקיים הומאומורפיזם בין Rⁿ לבין הספירה ה-n ממדית לאחר הוצאת הנקודה N. כיוון שהספירה כולה היא מרחב קומפקטי, בניה זאת יוצרת קומפקטיפיקציה של Rⁿ .

פירוק מעגל לארבע מפות

ניתן לבנות מפות יותר אינטואיטיביות לספירות ה-n ממדיות. לדוגמה את $\mathbb {S} ^{1}$, הספירה החד-ממדית (שמשוכנת במישור), ניתן לפרק למפות כמו שמתואר בציור. המפה הירוקה לדוגמה ניתנת לביטוי על ידי הזוג:

$\left(\{\ ({\sqrt {1-y^{2}}},y):y\in (-1,1)\}\ ,(x,y)\mapsto y\right)$

כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה- הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר ה-Y.

על ידי זיהוי $\mathbb {S} ^{1}$, עם מעגל היחידה במרוכבים ניתן לראות של-$\mathbb {S} ^{1}$ יש גם מבנה של חבורה, שנובע מהכפל במרוכבים.

פונקציות חלקות על יריעות

פונקציה $\ f:M\rightarrow \mathbb {R}$ נקראת פונקציה חלקה בנקודה p אם קיימת סביבה $\ U_{\alpha }$ של p כך שהפונקציה $\ f\circ \varphi _{\alpha }^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי: $\ f\circ \varphi _{\beta }^{-1}=\left(f\circ \varphi _{\alpha }^{-1}\right)\circ \left(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\right)$, כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינוורינטי ביחס לשינוי קואורדינטות.

לפי אותו רעיון פונקציה $\ F:M\rightarrow N$ היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות $(U,\varphi ),(W,\psi )$ הפונקציה $\psi \circ F\circ \varphi ^{-1}$ היא חלקה בתחום הגדרתה.

אם נתייחס לקטע הפתוח $\ (a,b)\subset \mathbb {R}$ כאל יריעה (עם המבנה הטבעי) אז העקומה $\gamma :(a,b)\rightarrow M$ היא עקומה חלקה (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה כפונקציה בין היריעות (a,b) ו-M.

לדוגמה, הפונקציה $\ f(x,y)=x+y$ היא פונקציה חלקה על $\mathbb {S} ^{1}$ (כי הפונקציה $\ f\circ \varphi ^{-1}(t)=t+{\sqrt {1-t^{2}}}$, שמתקבלת מכל המפות, חלקה בתחום $\ (-1,1)$). לעומת זאת הפונקציה $\ arg(e^{i\theta })=\theta$ (כאן אנו מתייחסים ל-$\mathbb {S} ^{1}$ כאל מעגל היחידה ב-$\mathbb {C}$, לפי הזיהוי הקודם ומשתמשים בנוסחת אוילר) איננה פונקציה חלקה על כל $\mathbb {S} ^{1}$ בגלל שיש לה "קפיצה" בגודל $\ 2\pi$ בין הנקודות שמתחת ציר הממשי והנקודות שמעליו (כלומר היא בכלל לא רציפה שם). למעט נקודה זו, הפונקציה רציפה וחלקה בכל היריעה.

הפונקציה $\ f:\mathbb {S} ^{n}\rightarrow \mathbb {S} ^{n}$ שמחזירה לכל נקודה את הנקודה האנטיפודית שלה: $\ f(x)=-x$ היא פונקציה חלקה מהספירה ה-n ממדית לעצמה (למעשה זהו דיפאומורפיזם). כדי להראות זאת נשתמש במפות הכלליות שהגדרנו. צריך להראות שהפונקציה $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}$ חלקה כפונקציה ממשית (כאשר $\psi$ ו- $\varphi$ הן קואורדינטות מקומיות). נשתמש בבניה הכללית של המפות לספירה שבנינו בדוגמה. היות שתכונת החלקות של פונקציה לא תלויה בקואודינטות המקומיות וכל נקודה מכוסה על ידי שתי המפות חוץ מ-N ו-S, נבחר את המפות בצורה שנוחה לנו. נתיחס אל $\mathbb {S} ^{n}$ כאל כדור היחידה ב-$\mathbb {R} ^{n+1}$.

נבחר את המפה הראשונה להיות ההטלה דרך N ואת השנייה להיות ההטלה דרך S ונראה שבכל נקודה חוץ משתי אלו הפונקציה חלקה, ואז כיוון שבחירת N היא שרירותית- יתקבל שהפונקציה חלקה על כל הספירה. אפשר לראות את זה מכיוון גאומטרי: הפונקציה הראשונה, $\varphi ^{-1}$, מעבירה את הנקודה $\ t\in \mathbb {R} ^{n}$ לנקודה על הספירה $\mathbb {S} ^{n}$ שנמצאת גם על הישר שעובר בין הנקודות N ו-(t,0). משם לוקחת אותה הפונקציה $\ f$ לנקודה האנטיפודית לה (שהיא בעצם הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרך $\varphi ^{-1}(t)$ והראשית עם הספירה). בשלב האחרון המפה $\psi$ לוקחת את הנקודה שהתקבלה על הספירה ומחזירה את הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרכה ודרך S עם ה"מישור" $\mathbb {R} ^{n}\times {0}$. למעשה כל המעברים מתרחשים רק על מישור אחד שמכיל את הנקודות $\ (t,0),N$ והראשית. זה בגלל הקו הראשון הוא בין N ו- (t,0) ולכן מוכל במישור, הקו השני הוא בין הנקודה שהתקבלה לבין הראשית, שגם היא במישור ולכן הוא נשאר במישור והקו השלישי עובר בין S, שנמצאת במישור לבין הנקודה מהשלב הקודם ולכן גם הוא במישור. אם נצייר את הקוים נראה שקיימת סימטריה הפוכה בין הישר וחצי הראשונים (מ-(t,0) ל-N ומנקודת החיתוך עם הספירה לראשית) לבין ההמשך (מהראשית לספירה והישר שעובר דרך S והנקודה האנטיפודית) ולכן נקודת החיתוך האחרונה סימטרית לנקודת ההתחלה כלומר $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}(t)=-t$ וזו היא פונקציה לינארית, ובפרט חלקה.

אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.

המרחב המשיק

ערך מורחב – המרחב המשיק

המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב לינארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה כוקטורים (שאותם ניתן לחבר ולהכפיל בסקלר). למושג כיוון אין מובן טבעי ביריעות אבל לנגזרת כיוונית יש, ולכן מגדיר את הווקטורים במרחב המשיק כהכללה של הנגזרות הכיווניות.

לכל נקודה p, המרחב המשיק בנקודה שמסומן $T_{p}M$, הוא מרחב וקטורי שאיבריו הם פונקציונלים שפועלים על הפונקציות החלקות כמו הנגזרת הכיוונית הרגילה כלומר הם לינאריים ומקיימים את כלל הגזירה ("כלל לייבניץ'"):

$\ v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$ כאשר $\ f,g$ הן פונקציות חלקות ו- $\ v$ הוא וקטור במרחב המשיק.

הווקטורים של המרחב המשיק נקראים וקטורים משיקים.

באופן פורמלי: ביריעה M המרחב המשיק בנקודה p, שמסומן T_pM, הוא האוסף הבא:

$\ T_{p}M=\{v:C^{\infty }(M)\rightarrow \mathbb {R} |\ \forall f,g\in C^{\infty }(M)\ \ v(fg)=v(f)g(p)+v(g)f(p),\ v{\mbox{ is linear }}\}$

כאשר $C^{\infty }(M)$ הוא אוסף הפונקציות החלקות על היריעה M. זהו מרחב וקטורי בעל ממד ששווה לממד היריעה. אם $\left(U,\varphi \right)=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ מערכת קואורדינטות מקומיות בנקודה p אז הווקטורים המשיקים ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}|_{p}$ שמוגדרים על ידי ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}|_{p}(f)={\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial t_{i}}}|_{\varphi (p)}$ הם בסיס למרחב המשיק בנקודה (כאשר t_i הוא הציר ה-i-י במערכת הצירים ב- $\mathbb {R} ^{n}$). מכלל הגזירה נובע שלכל וקטור משיק v ולכל קבוע c, $\ v(c)=0$.

דוגמאות נוספות

• כל מרחב וקטורי מממד סופי n, הוא יריעה חלקה מממד n על ידי מפה יחידה שמכסה את כל המרחב, והקואורדינטות שמוגדרות על ידי בסיס כלשהו. באופן מפתיע, המבנה הדיפרנציאלי של המרחב לא תלוי בבחירת הבסיס כלומר לכל שני בסיסים, האטלסים הנוצרים מהם הם שקולים. כדי להראות זאת מספיק להראות שפונקציית המעבר מבסיס לבסיס היא חלקה- וזה נכון כי פונקציה זו היא אופרטור לינארי על $\mathbb {R} ^{n}$ וכל פונקציה לינארית היא חלקה.
• הקבוצה $\ \mathbf {GL} (n,\mathbb {R} )=\left\{\ A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )\ |\ det(A)\neq 0\right\}$ שהיא קבוצת כל המטריצות ההפיכות במרחב $\mathbb {R} ^{n\times n}$. זוהי קבוצה פתוחה ולכן יריעה שממדה הוא ממד המרחב המקורי כלומר $\ n^{2}$. זוהי גם חבורה ביחס לפעולת הכפל (כפל מטריצות). חבורה זו נקראת החבורה הלינארית הכללית.
• המרחב הפרויקטיבי ה-n ממדי. מבנה זה נוצר על ידי "הדבקת" כל שתי נקודות אנטיפודיות בספירה ה-n ממדית.

ראו גם

• יריעה
• יריעה טופולוגית
• דיפאומורפיזם
• חבורת לי
• יריעה רימנית