חבורת הקשר

בתורת הקשרים, חבורת הקשר (Knot Group) של קשר נתון היא החבורה היסודית של המשלים שלו במרחב - $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$. חבורה זו היא אינווריאנט קשרים בסיסי וחשוב בתורת הקשרים - בעזרתו ניתן למיין קשרים וללמוד על התכונות הגאומטריות שלהם. בכל זאת, אינווריאנט זה איננו שלם.

הקדמה והגדרה

קשר הוא שיכון של ספירה במרחב התלת-ממדי $S^{1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{3}$. מעצם ההגדרה, קשר כאובייקט עצמאי הומיאומורפי לספירה (ההעתקה ההפכית רציפה כהעתקה ממרחב קומפקטי להאוסדורף), ולכן מחקר תכונות שלו ברמה הזו הוא חסר טעם - המידע הטמון בתוך הקשר הוא אופן שיכונו בתוך המרחב.

בהינתן קשר $K$, ניתן להביט במשלים שלו $\mathbb {R} ^{3}\setminus K$ - זהו אינווריאנט של הקשר (המשלימים של שני קשרים שקולים גם הם שקולים), אך דיי קשה לחקור אותו כאובייקט העומד בפני עצמו - למשל, לא ידוע האם הוא אינווריאנט שלם (כלומר, האם משלימים שקולים גוררים קשרים שקולים).

בכל זאת, ניתן להרכיב על המשלים פונקטורים שונים, ובעזרתם ללמוד על הקשר. לכן, מגדירים את החבורה של הקשר (Knot group) להיות החבורה היסודית של המשלים - $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$. אינווריאנט זה מתגלה כמוצלח, ומצליח להבדיל בין מספר קשרים בסיסיים ומאפשר ללמוד על הקשר.

תכונות

החבורה היסודית היא אכן בחירה "מוצלחת" של אינווריאנט בצורת חבורה - כך למשל, כל חבורות ההומולוגיה (וגם הקו-הומולוגיה) של המשלים נקבעות ללא תלות בשיכון - היא אפס בפרט להומולוגיה הראשונה, שהיא החבורה הציקלית האינסופית. בפרט, נובע כי האבליניזציה של חבורת הקשר של כל קשר היא ציקלית אינסופית. את החישוב ניתן לעשות בעזרת סדרת מאייר-ויאטוריס.

לעיתים מגדירים את חבורת הקשר להיות המשלים של הקשר ב-$S^{3}$, אך למעשה ההגדרות שקולות - שתי חבורות אלו איזומורפיות.

במקרים רבים, נוח לחשב חבורות של קשרים בעזרת הצגת וירטינגר (Wirtinger presentation) של הקשר (ראו בלקריאה נוספת לפרטים).

דוגמאות

• הקשר הטריוויאלי הוא שיכון של המעגל ללא הצטלבויות, והחבורה שלו היא $\mathbb {Z}$. ביתר כלליות, לקשר טריוויאלי מקו-ממד 2 יש חבורה יסודית ציקלית אינסופית - תחת שיכון טבעי $S^{n-2}\subseteq S^{n}$ מתקיים $\pi _{1}(S^{n}\setminus S^{n-2})=\mathbb {Z}$.

• לקשר טורוס מטיפוס $(p,q)$ (המספרים זרים) חבורת הקשר היא $G_{p,q}=\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle$. ראו בערך לפרטים נוספים. יתרה מזאת, החבורה הזו גם קובעת את קשר הטורוס - שני קשרי טורוס הם זהים אם ורק אם הטיפוס שלהם זהה (עד כדי קשר טריוויאלי וסימן).

• ניתן לחשב את החבורה של קשר התלתן בשתי דרכים - בעזרת הדוגמה לעיל מקבלים $G=G_{2,3}=\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$, ובעזרת הצגת וירטינגר מקבלים $B_{3}=\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle$ - חבורת הצמות השלישית. בפרט, נובע שאלו הן שתי הצגות לאותה החבורה.

• לקשר השמינית חבורת הקשר $\langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle$.

• לקשר הריבוע ולקשר הסבתא אותה חבורת הקשרים, אך הם אינם שקולים.

לקריאה נוספת

• Rolfsen, Dale (1990), Knots and links, Mathematics Lecture Series, vol. 7, Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-16-4
• Weng, John, Fundamental groups And Knots (PDF)