חבורה אבלית

חבורה אבלית (גם: חבורה חילופית באנגלית: Abelian group) היא חבורה שבה התוצאה של יישום של פעולה על שניים מאברי הקבוצה לא תלויה בסדר שבה נכתבים האיברים. דהיינו, $\ ab=ba$לכל שני איברים $\ a$ ו- $\ b$. עקרון זה נקרא חילופיות. חבורות אבליות הן מכלילות את האריתמטיקה של פעולת החיבור ביחס למספרים שלמים. חבורות אבליות נקראות על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל, מראשוני העוסקים בתורת החבורות.

המושג של חבורה אבלית הוא אחד המושגים הראשונים הנלמדים על ידי תלמידים הלומדים אלגברה מופשטת ותורת החבורות, וממושג זה פותחו מושגי בסיס אחרים כמו מודול או מרחב וקטורי. החבורות האבליות הן מודולים מעל חוג המספרים השלמים, ובמקרים רבים המינוח המקורי מתורת החבורות עבר בדרך זו לתורת המודולים.

דוגמאות

• אוסף המספרים השלמים, $\ \mathbb {Z}$, הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, משום שלכל שני מספרים שלמים מתקיים n+m=m+n.
• באופן כללי יותר, כל חבורה ציקלית היא חבורה אבלית.
• לעומת זאת, החבורה הסימטרית $\ S_{n}$ אינה אבלית (כאשר n>2).

הקשר לטיפוסים אחרים של חבורות

כל חבורה אבלית היא נילפוטנטית ולכן פתירה. מקור נוסף לדוגמאות הוא חבורות שאבריהן הם מספרים, ובפרט חבורות אוילר.

כל תת-חבורה או חבורת מנה של חבורה אבלית, גם היא אבלית; סכום ישר של חבורות אבליות הוא חבורה אבלית. כאשר מרחיבים חבורה אבלית בחבורה אבלית אחרת, התוצאה היא אמנם חבורה פתירה, אבל אינה חייבת להיות אבלית.

כמעט בכל מקרה, החלק החיבורי של מבנה אלגברי הוא חבורה אבלית. כך למשל, כל חוג (ובפרט שדה) הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, וכך גם כל מרחב וקטורי. שדה הוא גם חבורה אבלית ביחס לכפל, לאחר שמוציאים ממנו את איבר האפס.

סימונים

בדרך כלל מסמנים את הפעולה של חבורה אבלית M ב-"+" ולא בכפל, ואת איבר היחידה ב-0 ולא ב-1 או e. מקור סימון זה הוא מהחבורה החיבורית של חוג השלמים $\mathbb {Z}$. סימון זה נועד לבדל גם מפעולת הכפל, שהיא פעולה נוספת בחוג זה, וכן מפעולת חבורה אחרת G על M (כאשר G היא חבורה הפועלת על חבורה אבלית M באופן קומפטיבילי מקבלים מבנה של G-מודול).

חבורות נוצרות סופית

מבחינים בין שני סוגים של חבורות אבליות: אלו שנוצרות סופית, כלומר יש להן מספר סופי של יוצרים, ואלו שאינן נוצרות סופית. החבורות מן הטיפוס השני מעניינות בעיקר כשיש להן מבנה נוסף, למשל טופולוגיה או סדר. דוגמה לחבורה (מפותלת) שאינה נוצרת סופית: $\ \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$, ביחס לפעולת החיבור. על מיון החבורות האבליות הנוצרות סופית, שהוכיחו פרדיננד פרובניוס ו-Stickelberger ב-1879, ראו להלן.

פיתול וחליקות

חבורה (אבלית או שאינה אבלית) שבה כל האיברים הם בעלי סדר סופי, נקראת חבורה מפותלת, ואם אף איבר (פרט לאיבר היחידה) אינו בעל סדר סופי, היא נקראת חסרת פיתול. תת-חבורת הפיתול, $\ t(A)$, מורכבת מכל האיברים שלהם סדר סופי, והיא תת-חבורה מפותלת מקסימלית של A. חבורת המנה $\ A/t(A)$ תמיד חסרת פיתול.

כל חבורה אבלית סופית היא מפותלת; גם להפך: חבורה אבלית נוצרת סופית ומפותלת היא סופית. בין החבורות הציקליות, רק החבורה הציקלית האינסופית $\ \mathbb {Z}$ היא חסרת פיתול. סכום ישר של חבורות מפותלות הוא מפותל, אבל המכפלה הישרה אינה שומרת על תכונת הפיתול. לדוגמה, במכפלה הישרה $\ \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ יש גם איברים חסרי פיתול.

חבורה היא חליקה אם לכל איבר יש שורש מכל סדר; תכונה זו מתקיימת אם ורק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות. כל תת-חבורה חליקה היא מחובר ישר, כלומר, אם A תת-חבורה חליקה של חבורה אבלית A, אז A היא סכום ישר של D ושל תת-חבורה אחרת. אם A חליקה אז גם (t(A חליקה, ולכן אפשר לפרק $\ A=t(A)\oplus (A/t(A))$ כשהמרכיב השני חליק וחסר פיתול.

חבורה אבלית בעלת בסיס (סופי או אינסופי) נקראת חבורה אבלית חופשית; אלו הן החבורות שאפשר להציג כסכום ישר של עותקים של $\ \mathbb {Z}$. החבורות החופשיות הן חסרות פיתול, אבל לא חליקות.

משפטי מבנה

לפי משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, כל חבורה אבלית נוצרת סופית אפשר להציג, באופן יחיד, כסכום ישר של חבורה סופית וחבורה אבלית חופשית, שגם היא נוצרת סופית. אם החבורה מפותלת היא סופית (והחלק החופשי מתאפס), ואם היא חסרת פיתול - היא חופשית (והחלק הסופי מתאפס). חבורה סופית אפשר לכתוב כסכום ישר של חבורות ציקליות, שכולן מסדר חזקת-ראשוני.

למשפט זה יש הכללות גם עבור חבורות אבליות שאינן נוצרות סופית. לדוגמה:

• כל חבורה אבלית חסרת פיתול משוכנת בחבורה חופשית.
• כל חבורה אבלית עם פיתול סופי (היינו, עם חסם על סדר האיברים) היא סכום ישר של חבורות ציקליות סופיות.
• באופן כללי יותר, כל חבורה אבלית מפותלת היא סכום ישר של "חבורות פרימריות", שהן חבורות שבהן הסדר של כל איבר הוא חזקה של אותו מספר ראשוני.
• חבורה אבלית חליקה מתפרקת לסכום ישר של "החבורות החליקות היסודיות", שהן החבורות החיבוריות בשדה המספרים הרציונליים ובחוג השלמים ה-p-אדיים.

כל חבורה אבלית נוצרת סופית ניתנת לצמצום בקטגוריה של החבורות האבליות, כלומר, אם $\ A\oplus B\cong A\oplus B'$ כאשר A נוצרת סופית, אז $\ B\cong B'$.

קישורים חיצוניים

• חבורה אבלית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24174191חבורה אבלית