חבורה חליקה

במתמטיקה, ספציפית בתורת החבורות, חבורה חליקה היא חבורה אבלית בה כל איבר אפשר לחלק בכל מספר טבעי. חבורות חליקות הן חבורות חשובות בהבנת תורת החבורות האבליות, וזאת בעיקר משום שכל חבורה אבלית היא סכום ישר של חבורה חליקה וחבורה מצומצמת (ראו להלן), ומשום שכל חבורה אבלית אפשר לשכן בחבורה חליקה.

הגדרה

חבורה אבלית $G$ היא חליקה אם לכל איבר יש שורש מכל סדר. בכתיב חיבורי, הכוונה היא שלכל $x\in G$ ולכל $n$ טבעי יש $y\in G$ עבורו $x=yn$. חבורה אבלית נוצרת סופית אינה יכולה להיות חליקה (אלא אם היא טריוויאלית).

תנאי שקול לחליקות הוא שלכל $n$ טבעי מתקיים $G=nG$. אם החבורה חליקה, ההכלה $G\supseteq nG$ נכונה לכל חבורה באופן טריוויאלי, וההכלה השנייה $G\subseteq nG$ נובעת ישירות מההגדרה של חליקות. ובכיוון השני, אם לכל n מתקיים $G=nG$, אז לכל $n$ כל $x\in G$ שייך גם ל-$nG$, ומכאן שלכל n קיים $y\in G$ עבורו $x=yn$.

עבור p ראשוני, אומרים כי חבורה היא p-חליקה אם לכל $x\in G$ יש $y\in G$ עבורו $x=py$. באופן דומה לחליקות, חבורה p היא p-חליקה אמ"מ $G=pG$. מהגדרה זו מקבלים גם תנאי שקול נוסף לחליקות - חבורה היא חליקה אם ורק אם היא p-חליקה לכל p ראשוני.

חבורה אבלית היא חליקה אם ורק אם אין לה תת-חבורה מקסימלית.

נאמר גם שחבורה היא חבורה מצומצמת אם אין לה אף תת-חבורה חליקה פרט לתת-החבורה הטריוויאלית.

דוגמאות

• הרציונליים $\ \mathbb {Q}$ עם פעולת החיבור היא חליקה.
• באופן כללי יותר, החבורה החיבורית של מרחב וקטורי מעל $\ \mathbb {Q}$ היא חליקה.
• לכל ראשוני p, החבורה $\{r\in \mathbb {Q} \mid r={i}/{p^{n}}{\text{ for some }}i,n\in \mathbb {Z} \}$ עם פעולת החיבור מודולו 1 היא חליקה. חבורה זו נקראת חבורת-$p^{\infty }$, או $\mathbb {Z} (p^{\infty })$.
• החבורה הכפלית של המרוכבים $\ \mathbb {C} ^{*}$ היא חליקה.
• כל מנה של חבורה חליקה היא חליקה. בפרט, $\ \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ חבורה חליקה.

הקשר לחבורות אבליות כלליות

לכל חבורה אבלית $G$ יש תת-חבורה חליקה מקסימלית (כזו שמכילה את כל תת-החבורות החליקות). בנוסף, כל תת-חבורה חליקה $D$ היא מחוברת ישרה של החבורה כולה, כלומר, קיימת תת-חבורה $M$ כך ש-$G=M\oplus D$. מכאן שכל חבורה אבלית אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של חבורה חליקה וחבורה מצומצמת.

כל חבורה חסרת פיתול וחליקה היא סכום ישר של תת חבורות שכל אחת מהן איזומורפית ל-$\ \mathbb {Q}$. לחבורות מפותלות יש מחובר ישר שהוא או ציקלי מסדר ראשוני או חבורת-$p^{\infty }$ עבור $p$ ראשוני כלשהו, ומכאן שחבורה מפותלת ניתנת להפרדה לא טריוויאלית אם ורק אם היא ציקלית מסדר חזקה של ראשוני או חבורת-$p^{\infty }$. במקרה המיוחד בו החבורה היא חבורת-p, מקבלים גם כי כל תת-חבורה ציקלית מסדר מקסימלי היא מחוברת ישרה של החבורה כולה. אם החבורה היא חבורת-p שלכל איבר אפשר להוציא שורש p, בהכרח יש לה תת-חבורה שהיא $p^{\infty }$. במקרה של חבורת-p שהיא גם חליקה, מקבלים כי החבורה היא סכום ישר של חבורות-$p^{\infty }$.

בעזרת כל אלו אפשר להגיע למשפט פירוק כללי לחבורות חליקות.

משפט פירוק לחבורות חליקות

תהי G חבורה חליקה. קבוצת כל האיברים המפותלים של G, שנקראת גם תת חבורת הפיתול של G ומסומנת ב-$\mathrm {Tor} (G)$ היא חבורה חליקה. כל תת-חבורה חליקה היא מחוברת ישרה של החבורה כולה, ובפרט $\mathrm {Tor} (G)$. לכן נוכל להפריד את G לסכום: $G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G)$.

אפשר לתאר את שני המרכיבים בסכום הזה. כמנה של חבורה חליקה, גם $G/\mathrm {Tor} (G)$ היא חבורה חליקה. אפשר להראות גם שהיא חסרת פיתול. לכן, היא מרחב וקטורי מעל $\ \mathbb {Q}$. מכאן שכחבורה חיבורית היא סכום ישר של עותקים של $\mathbb {Q}$. כלומר, קיימת קבוצת אינדקסים $I$ עבורה $G/\mathrm {Tor} (G)=\mathbb {Q} ^{I}$.

את המבנה של תת-חבורת הפיתול קשה יותר להבין, אך ניתן להראות שכל אחד מרכיבי ה-p של תת-חבורת הפיתול הוא סכום ישר של עותקים של חבורות-$p^{\infty }$. ז"א שלכל p ראשוני קיימת קבוצת אינדקסים $I_{p}$ כך ש- $(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{I_{p}}$.

כעת, אם נסמן ב-$P$ את קבוצת המספרים הראשוניים, נקבל פירוק ל-G באופן הבא: $G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}$. כלומר, כל חבורה חליקה היא סכום ישר של חבורות שכל אחת מהן היא או חבורת $p^{\infty }$ עבור $p$ ראשוני כלשהו, או איזומורפית ל-$\ \mathbb {Q}$.

הצגה זו אמנם אינה יחידה, אבל מספר המרכיבים מכל סוג קבוע.

הכללות למודולים

בספרות המתמטית נעשו מספר ניסיונות להכליל את המושג של חבורה חליקה למודולים. ההגדרות הבולטות שניתן למצוא בספרות למודול חליק M מעל חוג R הן:

1. $rM=M$ לכל סקלר $r\neq 0$ (לעיתים נדרש גם ש-r אינו מחלק אפס, ולעיתים נדרש גם R יהיה תחום).
2. לכל אידיאל ראשי שמאלי $Ra$, כל הומומורפיזם מ-$Ra$ ל-$M$ אפשר להרחיב להומומורפיזם מ-$R$ ל-$M$.
3. לכל אידיאל שמאלי נוצר סופית $L$, כל הומומורפיזם מ-$L$ ל-$M$ אפשר להרחיב להומומורפיזם מ-$R$ ל-$M$

כשבוחנים את הגדרות אלו, יש לשים לב שלעיתים הגדרות אלו מתלכדות אחת עם השנייה אם עם הגדרות אחרות בספרות. לדוגמה אם R הוא תחום, שלוש ההגדרות מתלכדות. אם R הוא חוג ראשי שמאלי, אז ההגדרה של מודול חליק מתלכדת עם ההגדרה של מודול מודול אינג'קטיבי. בנוסף אם R הוא תחום קומוטטיבי, אז המודולים האינג'קטיביים מתלכדים עם המודולים החליקים אמ"מ R הוא חוג דדקינד.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24060486חבורה חליקה