חבורה אוניפוטנטית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית חבורות אוניפוטנטיות מהוות משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה של מטריצות משולשיות עליונות שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם ורק אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של .

חבורות אוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה אוניפוטנטית היא קשירה ופשוטת קשר. החבורה איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה . אפשר לראות בדוגמה זו את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות האוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה אוניפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי. אם מרכז זה אינו סופי אז הוא מכיל תת-חבורה איזומרפית ל-. אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין - 0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה . מכאן ניתן להסיק, שבמציין - 0, עבור חבורה אלגברית הדברים הבאים שקולים:

  • אוניפוטנטית.
  • ל - סדרה מרכזית שגורמיה הם .
  • ל - סדרה נורמלית שגורמיה הם .

אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p. כמו כן ניתן להראות כי אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין , אז עבור חבורה אלגברית הדברים הבאים שקולים:

  • אוניפוטנטית.
  • ל - סדרה מרכזית שגורמיה הם והחבורה הציקלית בעלת איברים .
  • ל - סדרה נורמלית שגורמיה הם ו - .

לחבורת אוניפוטנטיות תפקיד חשוב בתורת המיון והמבנה של חבורות אלגבריות ליניאריות. כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה רדוקטיבית וחבורה אוניפוטנטית. אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז ההרחב הזאת היא מכפלה חצי ישרה.

עץ מיון של חבורות אלגבריות

 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 


 


 


 
 
 
 
 
 
מקרא
מחלקה של חבורות אלגבריות או חבורה אלגברית בודדות; שם התואר "אלגברית/אלגברי" מושמט בדרך כלל.
מחלקה חשובה בתורת החבורות האלגבריות.
מחלקה שמכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים, אם שדה ההגדה סגור אלגברית.
מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.
חבורה בודדת
סידרה של חבורות
מחלקה של חבורות המהווה סידרה אחת עם שדה ההגדרה סגור אלגברית.
משפחה חד-פרמטרית של חבורת
קבוצה דיסקרטית של חבורות
משפחה רחבה יותר של חבורות
מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה
 
איזוגניה
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 


 


 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 


 
 
 
 
 
פשוטת הקשר
פשוטת הקשר


 
פשוטת הקשר
פשוטת הקשר


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 


 


 


 


 


 


 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 


 


 


 


לקריאה נוספת

  • Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
  • Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
  • Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
  3. ^ למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות
  4. ^ כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירהפשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה.
  5. ^ לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה".
  6. ^ כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה".
ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

39044217חבורה אוניפוטנטית