הרחבה נורמלית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

הרחבה נורמלית היא הרחבה אלגברית $F\subseteq K$ של שדות, כך שכל פולינום אי-פריק מעל השדה הקטן שיש לו שורש בשדה הגדול, מתפצל שם. הרחבה של שדות היא גלואה אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. תת-הרחבות נורמליות בהרחבת גלואה מאופיינות בכך שחבורות האוטומורפיזמים המתאימות להן הן נורמליות בחבורת גלואה של ההרחבה.

הגדרה

הרחבה אלגברית $K$ של $F$ היא הרחבה נורמלית אם כל פולינום אי-פריק $f(x)\in F[x]$ שיש לו שורש ב- $K$ , מתפצל ב- $K$ , כלומר, הוא מהווה מכפלה של גורמים ליניאריים מעל $K$ .

יהי $F$ שדה ויהי ${\bar {F}}$ הסגור האלגברי שלו. התנאים הבאים שקולים עבור תת-שדה $F\subset K\subset {\bar {F}}$ :

$K/F$ היא הרחבה נורמלית של שדות.
$K$ הוא שדה פיצול של קבוצת פולינומים ב- $F[x]$ .
כל פולינום מינימלי מעל $F$ של איבר מ- $K$ , מתפצל ב- $K$ .
לכל אוטומורפיזם $\sigma$ בחבורת גלואה האבסולוטית - $\operatorname {Gal} ({\bar {F}}/F)$ , מתקיים $\sigma (K)=K$ .
לכל שיכון $\sigma$ של $K$ ב- ${\bar {F}}$ מעל $F$ , מתקיים $\sigma (K)=K$ .
מספר האיברים בחבורת גלואה $\operatorname {Gal} (K/F)$ הוא הדרגה הספרבילית של $K$ מעל $F$ . קרי, מספר השיכונים של $K$ ל- ${\bar {F}}$ המרחיבים את השיכון הסטנדרטי של $F$ .
חבורת גלואה האבסולוטית של $K$ נורמלית בחבורת גלואה האבסולוטית של $F$ .

תכונות של הרחבות נורמליות

הרחבת שדות היא הרחבת גלואה אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. לכן מעל שדות ממאפיין אפס, כל הרחבה נורמלית היא הרחבת גלואה, והדבר מאפשר להפעיל שם את המשפט היסודי של תורת גלואה ביתר קלות.

אם $L$ הרחבה נורמלית של $F$ , אז $L$ נורמלית מעל כל שדה ביניים.

אם $K$ ו- $E$ הן הרחבות נורמליות של $F$ המוכלות ב- $L$ אז הצירוף שלהם $EK$ והחיתוך שלהם $K\cap E$ הם הרחבות נורמליות של $F$ .

אם $E/F$ הרחבת גלואה וחבורת גלואה שלה היא $G=\mathrm {Gal} (E/F)$ , ואם $E\supset K\supset F$ שדה ביניים, מתאימה לו לפי המשפט היסודי של תורת גלואה תת-חבורה $H=\mathrm {Gal} (E/K)$ של $G$ . תת-חבורה זו היא נורמלית אם ורק אם $K/F$ היא הרחבה נורמלית של שדות.

דוגמאות

כל הרחבה ריבועית (כמו $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]/\mathbb {Q}$ ) היא נורמלית.
ההרחבה $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]/\mathbb {Q}$ אינה נורמלית, שכן מתוך שלושת השורשים של הפולינום האי-פריק $x^{3}-2$ רק השורש הממשי ${\sqrt[{3}]{2}}$ נמצא בשדה ההרחבה ואילו שני השורשים הנותרים $\omega {\sqrt[{3}]{2}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}}\in \mathbb {C}$ (כאן $\omega =\exp(i2\pi /3)={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ ) הם מספרים מרוכבים ולכן לא שייכים ל- $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]\subset \mathbb {R}$ שהיא הרחבה ממשית.
עבור p מספר ראשוני, ההרחבה $\mathbb {Q} [{\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p}]/\mathbb {Q}$ כאשר $\zeta _{p}$ הוא שורש יחידה p-י פרימיטיבי, היא הרחבה נורמלית ממעלה $\left[\mathbb {Q} [{\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p}]:\mathbb {Q} \right]=p(p-1)$ . זהו שדה הפיצול של הפולינום האי-פריק $x^{p}-2$ .