מודול פשוט
באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג $ R $ הוא מודול $ M $ שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-$ M $ עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.
כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.
אפיון
כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $ M=Rx $), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $ R/L $ כאשר $ L $ אידיאל שמאלי של $ R $. המודול $ R/L $ פשוט בדיוק כאשר $ L $ אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של $ R/L $ הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-$ L $; לכן $ R $ חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.
דוגמאות
- המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
- תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידיאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.
- חוג מטריצות מעל חוג פשוט גם הוא פשוט.
- הלמה של שור קובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם של מודול פשוט שונה מאפס הוא איזומורפיזם.
קישורים חיצוניים
- מודול פשוט, באתר MathWorld (באנגלית)
מודול פשוט36031130