מודול פשוט

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג $ R $ הוא מודול $ M $ שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-$ M $ עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

אפיון

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $ M=Rx $), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $ R/L $ כאשר $ L $ אידיאל שמאלי של $ R $. המודול $ R/L $ פשוט בדיוק כאשר $ L $ אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של $ R/L $ הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-$ L $; לכן $ R $ חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.

דוגמאות

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מודול פשוט36031130