מטריצת הסיאן

באנליזה מתמטית, מטריצת הסיאן (Hessian) היא מטריצה ריבועית, שאיבריה הם הנגזרות החלקיות מסדר שני של פונקציה. מטריצת ההסיאן שימושית במציאה וסיווג נקודות קיצון של פונקציה מרובת משתנים.

הגדרה פורמלית

תהא $f(x_{1},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ פונקציה סקלרית ב-$n$ משתנים, שקיימות כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 שלה.

נגדיר את מטריצת ההסיאן $H(f)$ בנקודה $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ בתור מטריצה בגודל $n\times n$ עבורה

$\left[H(f)\right]_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}(a)$

ערך האבר $ij$ הוא ערך הנגזרת השנייה של $f$ בנקודה $a$ כאשר קודם גוזרים על פי המשתנה $x_{i}$ ואחר כך על פי המשתנה $x_{j}$ .

אם כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 הן רציפות (נהוג לסמן זאת $f\in C^{2}$), קיים משפט המראה כי הנגזרות המעורבות על פי אותם משתנים שוות, כלומר $f_{ij}=f_{ji}$ . מכאן נובע כי אם $f\in C^{2}$ אז מטריצת ההסיאן היא מטריצה סימטרית.

$H(f)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\\{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

שימוש לבדיקת ערכי קיצון

אם בנקודה $a\in \mathbb {R} ^{n}$ הגרדיאנט של $f$ הוא וקטור האפס, הנקודה $a$ נקראת נקודה קריטית. ממשפט פרמה נובע כי כל נקודת קיצון היא נקודה קריטית, אולם ההפך אינו נכון בהכרח – לא כל נקודה קריטית היא נקודת קיצון, והמשפט אינו נותן דרך לבדוק זאת. באמצעות ההסיאן ניתן לקבל תשובה במקרים רבים.

בהינתן נקודה קריטית $a$ יש לחשב את מטריצת ההסיאן של הפונקציה בנקודה זו. כעת בודקים את סימנם של הערכים העצמיים של המטריצה, ומתקיים אחד מבין המקרים הבאים:

1. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה חיוביים (מטריצה כזו נקראת מטריצה חיובית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מינימום.
2. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה שליליים (מטריצה כזו נקראת מטריצה שלילית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מקסימום.
3. אם קיים למטריצה ערך עצמי חיובי וערך עצמי שלילי, הנקודה היא נקודת אוכף.
4. אם למטריצה קיים ערך עצמי 0 ושאר הערכים עצמיים הם בעלי אותו סימן, לא ניתן לדעת בוודאות בעזרת מבחן זה האם הנקודה היא נקודת מינימום, מקסימום, או אוכף.

נשים לב כי מבחן זה מכליל את הבדיקה עבור פונקציה של משתנה אחד: אם הנגזרת השנייה של הפונקציה חיובית בנקודת קיצון, זוהי נקודת מינימום. אם היא שלילית, זוהי נקודת מקסימום, ואם היא שווה לאפס, לא ניתן לדעת באמצעות מבחן זה האם זוהי נקודת מינימום, מקסימום או נקודת פיתול.