תבנית פיסטר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית $ \langle 1,-a\rangle $. כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים $ I^{n}(F) $, ולכן יוצרות את המנות $ I^{n}(F)/I^{n+1}(F) $, ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרה

יהי $ F $ שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור $ a\in F^{\times } $, התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית $ \langle 1,-a\rangle $ נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת $ \langle \langle a\rangle \rangle $. תבנית פיסטר מסדר $ n $ היא מכפלה טנזורית של $ n $ תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה $ \langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle =\langle \langle a_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle a_{n}\rangle \rangle $, עבור $ a_{i}\in F $.

התבנית מהצורה $ \langle \langle 1,..,1\rangle \rangle $ היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנה

לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

תכונות

ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר $ \langle \langle a\rangle \rangle \perp \langle \langle b\rangle \rangle \cong \langle \langle ab\rangle \rangle \perp \langle \langle a,b\rangle \rangle $. תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות $ disc:I/I^{2}\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}} $. בפרט, מתקיים $ disc(\langle \langle a\rangle \rangle )=a $ ו-$ disc(\langle \langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\rangle \rangle ))=1 $ לכל $ n\geq 2 $.

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר $ n $ יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים $ I^{n}(F) $, משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר $ \langle a,b\rangle =\langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle \langle {\frac {-b}{a}}\rangle \rangle $.

התבנית $ \langle \langle -1,...,-1\rangle \rangle $ היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא $ 1,2,4,8 $. בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

מבנה

נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי $ \phi $ תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב $ \phi =\langle 1\rangle \perp \phi ' $. אז מתקיים $ \langle \langle a\rangle \rangle |\phi $ אם ורק אם $ -a $ מתקבל כערך של $ \phi ' $.

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב-$ D(q) $ את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-$ G(q) $ את החבורה $ G(q)=\{t\in F^{\times }:\langle t\rangle \otimes q\cong q\} $. אם $ q=\phi $ תבנית פיסטר מתקיים $ G(q)=D(q) $.

כמסקנה, נובע כי אם $ \phi $ תבנית פיסטר אז $ D(\phi ) $ סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:

  • $ q $ היא תבנית פיסטר.
  • לכל הרחבת שדות $ \mathbb {K} /F $, אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן $ D_{\mathbb {K} }(q) $, הוא חבורה.
  • $ q(\lambda _{1},...,\lambda _{n})\in G_{F(\lambda _{1},...,\lambda _{n})}(q) $.

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-$ I^{n}(F) $ הוא לפחות $ 2^{n} $. אם הוא שווה ל-$ 2^{n} $, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה: $ \cap _{n\in \mathbb {N} }I^{n}(F)=\{0\} $

הקשר לתורת K

לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה $ f_{n}:K_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F) $, הנתונה על ידי $ f_{n}(a_{1},...,a_{n})=\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle $.

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין $ 2K_{n}({F}) $, ולכן מתקבל איזומורפיזם $ k_{n}(F)\cong I^{n}(F)/I^{n+1}(F) $, כאשר $ k_{n}(F)=K_{n}(F)/2K_{n}(F) $.

ראו גם

לקריאה נוספת

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תבנית פיסטר31180058