תבנית פיסטר
במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית $ \langle 1,-a\rangle $. כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.
תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים $ I^{n}(F) $, ולכן יוצרות את המנות $ I^{n}(F)/I^{n+1}(F) $, ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.
תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.
הגדרה
יהי $ F $ שדה ממאפיין שאינו 2.
עבור $ a\in F^{\times } $, התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית $ \langle 1,-a\rangle $ נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת $ \langle \langle a\rangle \rangle $. תבנית פיסטר מסדר $ n $ היא מכפלה טנזורית של $ n $ תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה $ \langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle =\langle \langle a_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle a_{n}\rangle \rangle $, עבור $ a_{i}\in F $.
התבנית מהצורה $ \langle \langle 1,..,1\rangle \rangle $ היא מרחב היפרבולי.
תכונות ומבנה
לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.
תכונות
ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר $ \langle \langle a\rangle \rangle \perp \langle \langle b\rangle \rangle \cong \langle \langle ab\rangle \rangle \perp \langle \langle a,b\rangle \rangle $. תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות $ disc:I/I^{2}\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}} $. בפרט, מתקיים $ disc(\langle \langle a\rangle \rangle )=a $ ו-$ disc(\langle \langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\rangle \rangle ))=1 $ לכל $ n\geq 2 $.
באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר $ n $ יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים $ I^{n}(F) $, משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר $ \langle a,b\rangle =\langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle \langle {\frac {-b}{a}}\rangle \rangle $.
התבנית $ \langle \langle -1,...,-1\rangle \rangle $ היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא $ 1,2,4,8 $. בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.
מבנה
נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.
משפט - תהי $ \phi $ תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב $ \phi =\langle 1\rangle \perp \phi ' $. אז מתקיים $ \langle \langle a\rangle \rangle |\phi $ אם ורק אם $ -a $ מתקבל כערך של $ \phi ' $.
כמסקנה מקבלים:
משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.
המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.
משפט - נסמן ב-$ D(q) $ את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב-$ G(q) $ את החבורה $ G(q)=\{t\in F^{\times }:\langle t\rangle \otimes q\cong q\} $. אם $ q=\phi $ תבנית פיסטר מתקיים $ G(q)=D(q) $.
כמסקנה, נובע כי אם $ \phi $ תבנית פיסטר אז $ D(\phi ) $ סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.
משפט: התכונות הבאות שקולות:
- $ q $ היא תבנית פיסטר.
- לכל הרחבת שדות $ \mathbb {K} /F $, אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן $ D_{\mathbb {K} }(q) $, הוא חבורה.
- $ q(\lambda _{1},...,\lambda _{n})\in G_{F(\lambda _{1},...,\lambda _{n})}(q) $.
המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.
משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב-$ I^{n}(F) $ הוא לפחות $ 2^{n} $. אם הוא שווה ל-$ 2^{n} $, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.
מסקנה: $ \cap _{n\in \mathbb {N} }I^{n}(F)=\{0\} $
הקשר לתורת K
לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.
הן מספקות העתקה $ f_{n}:K_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F) $, הנתונה על ידי $ f_{n}(a_{1},...,a_{n})=\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle $.
לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין $ 2K_{n}({F}) $, ולכן מתקבל איזומורפיזם $ k_{n}(F)\cong I^{n}(F)/I^{n+1}(F) $, כאשר $ k_{n}(F)=K_{n}(F)/2K_{n}(F) $.
ראו גם
לקריאה נוספת
- עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.
תבנית פיסטר31180058