תבנית פיסטר

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית $\langle 1,-a\rangle$ . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים $I^{n}(F)$ , ולכן יוצרות את המנות $I^{n}(F)/I^{n+1}(F)$ , ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרה

יהי $F$ שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור $a\in F^{\times }$ , התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית $\langle 1,-a\rangle$ נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת $\langle \langle a\rangle \rangle$ . תבנית פיסטר מסדר $n$ היא מכפלה טנזורית של $n$ תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה $\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle =\langle \langle a_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle a_{n}\rangle \rangle$ , עבור $a_{i}\in F$ .

התבנית מהצורה $\langle \langle 1,..,1\rangle \rangle$ היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנה

לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

תכונות

ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר $\langle \langle a\rangle \rangle \perp \langle \langle b\rangle \rangle \cong \langle \langle ab\rangle \rangle \perp \langle \langle a,b\rangle \rangle$ . תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות $disc:I/I^{2}\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}}$ . בפרט, מתקיים $disc(\langle \langle a\rangle \rangle )=a$ ו- $disc(\langle \langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\rangle \rangle ))=1$ לכל $n\geq 2$ .

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר $n$ יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים $I^{n}(F)$ , משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר $\langle a,b\rangle =\langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle \langle {\frac {-b}{a}}\rangle \rangle$ .

התבנית $\langle \langle -1,...,-1\rangle \rangle$ היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא $1,2,4,8$ . בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

מבנה

נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי $\phi$ תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב $\phi =\langle 1\rangle \perp \phi '$ . אז מתקיים $\langle \langle a\rangle \rangle |\phi$ אם ורק אם $-a$ מתקבל כערך של $\phi '$ .

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב- $D(q)$ את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב- $G(q)$ את החבורה $G(q)=\{t\in F^{\times }:\langle t\rangle \otimes q\cong q\}$ . אם $q=\phi$ תבנית פיסטר מתקיים $G(q)=D(q)$ .

כמסקנה, נובע כי אם $\phi$ תבנית פיסטר אז $D(\phi )$ סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:

$q$ היא תבנית פיסטר.
לכל הרחבת שדות $\mathbb {K} /F$ , אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן $D_{\mathbb {K} }(q)$ , הוא חבורה.
$q(\lambda _{1},...,\lambda _{n})\in G_{F(\lambda _{1},...,\lambda _{n})}(q)$ .

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב- $I^{n}(F)$ הוא לפחות $2^{n}$ . אם הוא שווה ל- $2^{n}$ , התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה: $\cap _{n\in \mathbb {N} }I^{n}(F)=\{0\}$

הקשר לתורת K

לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה $f_{n}:K_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F)$ , הנתונה על ידי $f_{n}(a_{1},...,a_{n})=\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle$ .

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין $2K_{n}({F})$ , ולכן מתקבל איזומורפיזם $k_{n}(F)\cong I^{n}(F)/I^{n+1}(F)$ , כאשר $k_{n}(F)=K_{n}(F)/2K_{n}(F)$ .