שקילות מוריטה

באלגברה מופשטת, שני חוגים נקראים שקולים מוריטה (Morita equivalent) אם קיימת שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם.

המונח נקרא על שם המתמטיקאי היפני מוריטה קייצ'י, שעסק באלגברה וטופולוגיה. לשקילות מוריטה מספר אפיונים חשובים, ובמובן מסוים היא מכלילה את הקשר שבין חוג אל חוג המטריצות מעליו, ולא באופן מרחיק לכת.

הגדרה

שתי קטגוריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{A},\mathfrak{B}} נקראות שקולות אם קיימת ביניהן שקילות קטגורית, כלומר קיימים פונקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F:\mathfrak{A} \to \mathfrak{B}} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G:\mathfrak{B} \to \mathfrak{A}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \circ G} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \circ F} איזומורפיות באופן טבעי אל העתקות הזהות, כלומר קיימות העתקות טבעיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \circ F \to I_\mathfrak{A}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \circ G \to I_\mathfrak{B}} .

בהינתן חוג (אסוציאטיבי עם יחידה) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R-Mod}} את הקטגוריה של המודולים הימניים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . נאמר ששני חוגים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} הם שקולים מוריטה אם קיימת שקילות קטגורית בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R-Mod}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{S-Mod}} .

קל לראות כי מדובר בשקילות בין חוגים (כלומר, התאמה המקיימת רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות), המכונה שקילות מוריטה.

יחס מוריטה הוא יחס של שקילות בין חוגים, ולכן אפשר לדבר על תכונות של חוגים הנשמרות תחת היחס, כלומר: האם תכונה מסוימת של חוג נשמרת גם לאחר מעבר לחוג השקול אליו מוריטה? תכונות כאלה נקראות אינווראינטיות תחת יחס מוריטה.

מבנה

שני חוגים איזומורפיים ודאי שקולים מוריטה, וההפך נכון בחוגים קומוטטיביים. בחוגים לא קומוטטיביים מתקבל מינוח כללי יותר; כך למשל, כל חוג מטריצות מעל חוג נתון שקול מוריטה לחוג המקורי, ולכן כל שני חוגי מטריצות מעל אותו החוג הם שקולים מוריטה. דוגמה ראשונית זו היא אבן הפינה במונח של שקילות מוריטה, ורבות מטכניקות ההוכחה עוברות לתאוריה הכללית.

היות שעצם ההגדרה היא בשקילות קטגורית, כל תכונה שניתן להגדיר אך ורק בתוך הקטגוריה של המודולים הימניים (כלומר אך ורק על ידי אובייקטים ומורפיזמים, וללא התייחסות מפורשת אל חוג הבסיס) תעבור מחוג אל חוג השקול אליו מוריטה. כך למשל, אינג'קטיביות, פרויקטיביות, פשיטות למחצה, ארטיניות, נתריות, נוצר סופית (אך לא מספר היוצרים), כולן נשמרות.

מאידך, מספר תכונות בבירור אינן נשמרות על ידי יחס מוריטה - קומוטטיביות, מקומיות, חילוק, תחום, גולדיות.

שקילות מוריטה ומודולים יוצרים

לשקילות מוריטה קשר הדוק למודולים יוצרים (generators) ומודולים פרו-יוצרים (progenerators). מודול יוצר הוא מודול שאידאל העקבה שלו שווה לחוג כולו. מודול פרו-יוצר הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית. את קטגוריית המודולים הפרו-יוצרים נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{P}_R} .

הקשר המבני

כעת נתאר את הקשר בין מודולים פרו-יוצרים אל שקילות מוריטה, המכונות משפטי מוריטה.

לכל מודול פרו-יוצר ניתן להגדיר morita context (ראו בלקריאה נוספת לפרטים מלאים). קיומו של morita context משרה שקילות מוריטה בין החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} אל החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \operatorname{End}_R(P)} . גם ההפך נכון - כל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} השקול מוריטה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא חוג אנדומורפיזמים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} -מודול ימני פרו-יוצר כלשהו - כלומר, ניתן לבנות morita context בהינתן שקילות קטגורית בין המודולים הימניים. הרכבה של שקלויות קטגוריות מתאימה באופן מלא אל מכפלה טנזורית של המודולים הפרו-יוצרים המתאימים.

תכונות נוספות

כלל הביטול (cancellation law) בקטגוריה של מודולים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{A}} הוא הדרישה שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \in \mathfrak{A}} יתקיים שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^n \cong P^{n'}} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=n'} .

משפט: עבור שני חוגים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R,S} שקולים מוריטה, כלל הביטול ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{P}_R} שקול אל כלל הביטול ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{P}_S} .

לאור משפט זה, אפשר לאפיין חוגי מטריצות שנקבעים על ידי חוג הבסיס - עבור חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , הבאים שקולים:

1. כל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} השקול מוריטה אל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} קובע את חוג המקדמים בחוג מטריצות (כלומר, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S'} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_n(S) \cong M_n(S')} נובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \cong S'} ).
2. המחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{P}_R} מקיימת ביטול חלש (weak-cancellation) - כלומר אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^n \cong P'^{n}} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{End}_R(P) \cong\operatorname{End}_R(P')} .

כמסקנה מתוצאה זו, מקבלים שכל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} מקומי-למחצה (כלומר כזה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/\operatorname{rad}(R)} פשוט למחצה (למשל חוג ארטיני ימני)) קובע את חוג הבסיס בחוגי מטריצות מעליו.

תכונות נוספות

עד כה דובר על שקילות בין המודולים הימניים, אך למעשה שקילות בין המודולים הימניים שקולה לשקילות בין המודולים השמאליים.

ניתן לתאר את המבנה של שני חוגים שקולים מוריטה באופן מפורש עוד יותר - אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R,S} שקולים מוריטה, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S \cong e M_n(R) e} עבור אידמפוטנט שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} (כלומר כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_n(R) e M_n(R) = M_n(R)} ).

כמסקנה מטענה זו, תכונה של חוגים היא אינווריאנטית תחת יחס מוריטה אם ורק אם כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} מקיים את התכונה, כך גם כל חוג מטריצות מעליו, וגם כל חוג מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle eRe} לכל אידמפוטנט שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} .

כך למשל, היותו של חוג סופי, פרימיטיבי למחצה, ראשוני, ראשוני למחצה, כולן תכונות אינווריאנטיות.

בנוסף, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R,S} שקולים מוריטה, אז המרכזים שלהם איזומורפיים. לכן, במקרה של חוגים קומוטטיביים, המונח לא מחדש כלום (כאמור לעיל). המרכז הוא אינווריאנט מוריטה, ויותר מכך: את המרכז של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ניתן לקבוע בעזרת הקטגוריה של המודולים הימניים מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} .

בתורת K, שקילות מוריטה בין חוגים משרה שקילות על מחלקות המודולים הפרויקטיביים, ולכן לחוגים שקולים מוריטה יש חבורות K איזומורפיות.

לקריאה נוספת

• Lectures on Modules and Rings, T. Lam, p.459-501