קטגוריה (מתמטיקה)

במתמטיקה, קטגוריה היא מערכת מתמטית כללית ביותר, המאפשר לנסח באופן פורמלי תכונות של אובייקטים מופשטים, ותהליכים המשמרים את המבנה של אובייקטים אלו. קטגוריות מופיעות בכל אחד מענפי המתמטיקה והן מהוות דרך מרכזית לאחד את ענפי המתמטיקה השונים תחת מסגרת כוללת. העיסוק בקטגוריות כאובייקטים בפני עצמן נקרא "תורת הקטגוריות".

הגדרה פורמלית

קטגוריה ${\mathcal {C}}$ מורכבת מהמידע הבא:

• מחלקה $Ob({\mathcal {C}})$ של עצמים (או אובייקטים)
• לכל זוג אובייקטים $a,b\in Ob({\mathcal {C}})$ משויכת קבוצה ${\mbox{Hom}}(a,b)\,$ (מסומנת לעיתים ${\mbox{Mor}}(a,b)\,$) הנקראת קבוצת המורפיזמים מ-a ל-b. מורפיזם $f\in {\mbox{Hom}}(a,b)$ מסומן בדרך כלל על ידי $f:a\rightarrow b$.
• לכל שלושה אובייקטים a, b ו-c, קיים אופרטור בינארי $\,{\mbox{Hom}}(a,b)\times {\mbox{Hom}}(b,c)\rightarrow {\mbox{Hom}}(a,c)$ הנקרא הרכבת מורפיזמים. הרכבת המורפיזמים $\,f:a\rightarrow b$ ו-$\,g:b\rightarrow c$ מסומנת על ידי $\,g\circ f$ או פשוט $gf\,$.

כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

• (אסוציאטיביות) אם g : b → c, f : a → b ו- h : c → d אז מתקיים h o (g o f) = (h o g) o f, וגם
• (קיום יחידה) לכל אובייקט x, קיים מורפיזם יחיד 1_x : x → x המכונה מורפיזם היחידה של x, כך שעבור כל מורפיזם f : a → b מתקיים: 1_b o f = f = f o 1_a.

קטגוריה נקראת קטגוריה קטנה אם המחלקה $Ob({\mathcal {C}})$ היא קבוצה. לעיתים מכונים המורפיזמים של קטגוריה בשם חיצים.

דוגמאות

• קטגורית הקבוצות Set. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל הקבוצות. בהינתן שתי קבוצות $a,b$ הקבוצה (Hom(a,b היא קבוצת כל הפונקציות מ-a ל b. הרכבת מורפיזמים היא הרכבת פונקציות.
• קטגורית החבורות Grp. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל החבורות. הקבוצה (Hom(a,b היא קבוצת כל ההומומורפיזמים מ-a ל b.
• קטגורית החבורות האבליות Ab. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל החבורות האבליות, והמורפיזמים הם הומומורפיזמים של חבורות אבליות.
• הקטגוריה Top. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל המרחבים הטופולוגיים. המורפיזמים הם פונקציות רציפות בין מרחבים טופולוגיים.
• קטגורית החוגים Ring, עם ההומומורפיזמים של חוגים בתור מורפיזמים.
• קטגוריה של חוגים, כאשר המורפיזמים מ-A ל-B הם הבימודולים מעל (A,B), והרכבת מורפיזמים היא המכפלה הטנזורית מעל האובייקט המשותף. בדוגמה זו, שלא כרגיל, המורפיזמים אינם פונקציות.

סוגי מורפיזמים

מורפיזם $f:a\rightarrow b$ נקרא:

• מונומורפיזם אם לכל אובייקט x ולכל זוג מורפיזמים $\ g_{1},g_{2}:x\rightarrow a$, אם מתקיים $\ f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ אז $\ g_{1}=g_{2}$.
• אפימורפיזם אם לכל אובייקט x ולכל זוג מורפיזמים $\ g_{1},g_{2}:b\rightarrow x$, אם מתקיים $\ g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ אז $\ g_{1}=g_{2}$.
• איזומורפיזם אם קיים לו מורפיזם הופכי. במילים אחרות, אם קיים מורפיזם $g:b\rightarrow a$ כך ש $\ f\circ g=1_{b}$ ו-$\ g\circ f=1_{a}$.

לדוגמה, בקטגוריית החבורות, מונומורפיזם הוא בדיוק הומומורפיזם חד חד ערכי. אפימורפיזם הוא בדיוק הומומורפיזם על.

סוגי אובייקטים

אובייקט אפס

ערך מורחב – אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

אובייקט $a\in Ob(C)$ נקרא:

• אובייקט התחלתי (initial) אם לכל אובייקט $x\in Ob(C)$ קיים בדיוק מורפיזם אחד $f:a\rightarrow x$.
• אובייקט סופי (terminal) אם לכל אובייקט $x\in Ob(C)$ קיים בדיוק מורפיזם אחד $f:x\rightarrow a$.
• אובייקט אפס אם הוא גם התחלתי וגם סופי.

לדוגמה, בקטגוריית הקבוצות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי, בעוד כל יחידון (קבוצה בעלת איבר אחד, לא להתבלבל עם מונואיד) היא אובייקט סופי. בקטגוריית החבורות, כל חבורה טריוויאלית היא אובייקט אפס. ראוי להדגיש שאף שכל שתי חבורות טריוויאליות הן איזומורפיות, בקטגורית החבורות ישנן אינסוף חבורות טריוויאליות שונות, האיזומורפיות זו לזו.

קטגוריות בתורת ההצגות

לקטגוריות יש תפקיד מרכזי בתורת ההצגות, בעיקר של חוגים על ידי המודולים שלהם. בין הטיפוסים העיקריים של קטגוריות שמתקבלות באופן הזה:

1. קטגוריה פרה-אדיטיבית: קטגוריה שבה מוגדר (קטגורית) הסכום הישר של כל שני אובייקטים.
2. קטגוריה אדיטיבית: קטגוריה שבה מוגדר סכום ישר, יש איבר אפס, והמורפיזמים בין שני אובייקטים מהווים חבורה אבלית.
3. קטגוריה פסאודו-אבלית: קטגוריה אדיטיבית שבה כל מורפיזם אידמפוטנטי משרה פיצול של האובייקט. (כזוהי למשל קטגוריית המודולים הפרויקטיביים מעל חוג כלשהו; או קטגוריית המודולים הפרויקטיביים הנוצרים סופית).
4. קטגוריה אבלית: קטגוריה פסאודו-אבלית שבה לכל מורפיזם יש גרעין וקו-גרעין. (לדוגמה, קטגוריית המרחבים הווקטוריים מממד זוגי היא אבלית). הקטגוריה של מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית מעל R היא אבלית אם ורק אם R פשוט למחצה.
5. קטגוריית גרותנדיק, שהיא סוג מיוחד של קטגוריה אבלית. קטגוריית המודולים מעל חוג נתון היא קטגוריית גרותנדיק, וכל קטגוריית גרותנדיק משוכנת בקטגוריית המודולים מעל חוג כלשהו.

ראו גם

• תמונה (תורת הקטגוריות)