קטגוריה (מתמטיקה)

במתמטיקה, קטגוריה היא מערכת מתמטית כללית ביותר, המאפשר לנסח באופן פורמלי תכונות של אובייקטים מופשטים, ותהליכים המשמרים את המבנה של אובייקטים אלו. קטגוריות מופיעות בכל אחד מענפי המתמטיקה והן מהוות דרך מרכזית לאחד את ענפי המתמטיקה השונים תחת מסגרת כוללת. העיסוק בקטגוריות כאובייקטים בפני עצמן נקרא "תורת הקטגוריות".

הגדרה פורמלית

קטגוריה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal C} מורכבת מהמידע הבא:

• מחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ob(\mathcal C)} של עצמים (או אובייקטים)
• לכל זוג אובייקטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b \in Ob(\mathcal C)} משויכת קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Hom}(a,b)\,} (מסומנת לעיתים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Mor}(a,b)\,} ) הנקראת קבוצת המורפיזמים מ-a ל-b. מורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\in \mbox{Hom}(a,b)} מסומן בדרך כלל על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:a\rightarrow b} .
• לכל שלושה אובייקטים a, b ו-c, קיים אופרטור בינארי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mbox{Hom}(a,b) \times \mbox{Hom}(b,c) \rightarrow \mbox{Hom}(a,c)} הנקרא הרכבת מורפיזמים. הרכבת המורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f:a \rightarrow b} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,g:b \rightarrow c} מסומנת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,g \circ f} או פשוט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle gf\,} .

כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

• (אסוציאטיביות) אם g : b → c, f : a → b ו- h : c → d אז מתקיים h o (g o f) = (h o g) o f, וגם
• (קיום יחידה) לכל אובייקט x, קיים מורפיזם יחיד 1_x : x → x המכונה מורפיזם היחידה של x, כך שעבור כל מורפיזם f : a → b מתקיים: 1_b o f = f = f o 1_a.

קטגוריה נקראת קטגוריה קטנה אם המחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ob(\mathcal C)} היא קבוצה. לעיתים מכונים המורפיזמים של קטגוריה בשם חיצים.

דוגמאות

• קטגורית הקבוצות Set. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל הקבוצות. בהינתן שתי קבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} הקבוצה (Hom(a,b היא קבוצת כל הפונקציות מ-a ל b. הרכבת מורפיזמים היא הרכבת פונקציות.
• קטגורית החבורות Grp. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל החבורות. הקבוצה (Hom(a,b היא קבוצת כל ההומומורפיזמים מ-a ל b.
• קטגורית החבורות האבליות Ab. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל החבורות האבליות, והמורפיזמים הם הומומורפיזמים של חבורות אבליות.
• הקטגוריה Top. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל המרחבים הטופולוגיים. המורפיזמים הם פונקציות רציפות בין מרחבים טופולוגיים.
• קטגורית החוגים Ring, עם ההומומורפיזמים של חוגים בתור מורפיזמים.
• קטגוריה של חוגים, כאשר המורפיזמים מ-A ל-B הם הבימודולים מעל (A,B), והרכבת מורפיזמים היא המכפלה הטנזורית מעל האובייקט המשותף. בדוגמה זו, שלא כרגיל, המורפיזמים אינם פונקציות.

סוגי מורפיזמים

מורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:a \rightarrow b} נקרא:

• מונומורפיזם אם לכל אובייקט x ולכל זוג מורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1, g_2 :x \rightarrow a} , אם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f \circ g_1 = f \circ g_2} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1 = g_2} .
• אפימורפיזם אם לכל אובייקט x ולכל זוג מורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1, g_2:b \rightarrow x} , אם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1 \circ f = g_2 \circ f} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1 = g_2} .
• איזומורפיזם אם קיים לו מורפיזם הופכי. במילים אחרות, אם קיים מורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g:b \rightarrow a} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f \circ g = 1_b} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g \circ f = 1_a} .

לדוגמה, בקטגוריית החבורות, מונומורפיזם הוא בדיוק הומומורפיזם חד חד ערכי. אפימורפיזם הוא בדיוק הומומורפיזם על.

סוגי אובייקטים

אובייקט אפס

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת: ערך מורחב – אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

אובייקט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in Ob(C)} נקרא:

• אובייקט התחלתי (initial) אם לכל אובייקט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in Ob(C)} קיים בדיוק מורפיזם אחד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:a \rightarrow x} .
• אובייקט סופי (terminal) אם לכל אובייקט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in Ob(C)} קיים בדיוק מורפיזם אחד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:x \rightarrow a} .
• אובייקט אפס אם הוא גם התחלתי וגם סופי.

לדוגמה, בקטגוריית הקבוצות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי, בעוד כל יחידון (קבוצה בעלת איבר אחד, לא להתבלבל עם מונואיד) היא אובייקט סופי. בקטגוריית החבורות, כל חבורה טריוויאלית היא אובייקט אפס. ראוי להדגיש שאף שכל שתי חבורות טריוויאליות הן איזומורפיות, בקטגורית החבורות ישנן אינסוף חבורות טריוויאליות שונות, האיזומורפיות זו לזו.

קטגוריות בתורת ההצגות

לקטגוריות יש תפקיד מרכזי בתורת ההצגות, בעיקר של חוגים על ידי המודולים שלהם. בין הטיפוסים העיקריים של קטגוריות שמתקבלות באופן הזה:

1. קטגוריה פרה-אדיטיבית: קטגוריה שבה מוגדר (קטגורית) הסכום הישר של כל שני אובייקטים.
2. קטגוריה אדיטיבית: קטגוריה שבה מוגדר סכום ישר, יש איבר אפס, והמורפיזמים בין שני אובייקטים מהווים חבורה אבלית.
3. קטגוריה פסאודו-אבלית: קטגוריה אדיטיבית שבה כל מורפיזם אידמפוטנטי משרה פיצול של האובייקט. (כזוהי למשל קטגוריית המודולים הפרויקטיביים מעל חוג כלשהו; או קטגוריית המודולים הפרויקטיביים הנוצרים סופית).
4. קטגוריה אבלית: קטגוריה פסאודו-אבלית שבה לכל מורפיזם יש גרעין וקו-גרעין. (לדוגמה, קטגוריית המרחבים הווקטוריים מממד זוגי היא אבלית). הקטגוריה של מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית מעל R היא אבלית אם ורק אם R פשוט למחצה.
5. קטגוריית גרותנדיק, שהיא סוג מיוחד של קטגוריה אבלית. קטגוריית המודולים מעל חוג נתון היא קטגוריית גרותנדיק, וכל קטגוריית גרותנדיק משוכנת בקטגוריית המודולים מעל חוג כלשהו.

ראו גם

• תמונה (תורת הקטגוריות)

קטגוריה_(מתמטיקה)17492029Q719395