מודול יוצר
באלגברה, מודול יוצר (generator module) הוא מודול בו סכומי פונקציונלים מהמרחב הדואלי יוצרים את כל חוג הבסיס. מודול פרו-יוצר (progenerator module) הוא מודל יוצר, פרויקטיבי ונוצר סופית. למודולים המקיימים תכונות אלו תפקיד מבני בתורת המודולים, והם מהווים עזר באפיון מושגים שונים באלגברה: בעזרתם ניתן לאפיין באופן מבני את שקילות מוריטה; הם מהווים חלק מהגדרת איברים טריוויאליים בחבורת בראואר של חוגים.
הגדרה
יהי $ R $ חוג, ויהי $ P $ מודול מעל החוג. נסמן ב-$ P^{*} $ את ההמרחב הדואלי של $ P $, כלומר אוסף ההומומורפיזם מהמודול אל חוג הבסיס. אידיאל העקבה (trace ideal) של $ P $ מוגדר כך:
$ \operatorname {tr} (P)=\sum _{f\in P^{*}}{f(P)}=\left\{\sum {f_{i}(p_{i}):f_{i}\in P^{*},p_{i}\in P}\right\} $
כלומר, הוא מכיל סכומי פעולות של פונקציונלים על החוג. בדיקה ישירה מראה שזהו אכן אידיאל דו צדדי של $ R $ (נובע בין השאר מכך ש-$ P^{*} $ מודול ימני מעל $ R $). המודול $ P $ נקרא יוצר יוצר אם אידיאל זה שווה לכל החוג: $ \operatorname {tr} (P)=R $ (או בשקילות, $ 1\in \operatorname {tr} (P) $). המודול נקרא פרו-יוצר אם הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית מעל $ R $.
תכונות
להלן מספר תכונות שקולות להיותו של מודול יוצר:
- הפונקטור $ P\mapsto \operatorname {Hom} _{R}(P,-) $ הוא נאמן. בפרט, נובע שהתכונה ניתנת לאפיון באופן קטגורי, ולכן נשמרת בין אובייקטים שקולים קטגורית.
- $ R $ הוא מחובר ישר ב-$ P^{n} $.
- $ R $ הוא מחובר ישר ב-$ \oplus P $.
- כל $ R $-מודול הוא תמונה של ב-$ \oplus P $.
אזומיה הוכיח כי מודול מעל חוג קומוטטיבי שהוא פרויקטיבי ונוצר סופית הוא יוצר (ולכן פרו-יוצר) אם ורק אם הוא נאמן. בפרט, נובע כי כאשר חוג הבסיס קומוטטיבי ואין לא אידמפוטנטים פרט ל-0 ו-1, כל מודול פרויקטיבי ונוצר סופית הוא פרו-יוצר. בנוסף, עבור מודול פרויקטיבי ונוצר סופית מתקיים $ \operatorname {tr} (P)\oplus \operatorname {Ann} (P)=R $, כאשר $ \operatorname {Ann} $ הוא המאפס של המודול.
שקילות מוריטה
ערך מורחב – שקילות מוריטה
למודולים יוצרים ישנו קשר חשוב לשקילות מוריטה של חוגים - שני חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם יש שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם. מסתבר שתנאי זה שקול לתנאי מבני על החוגים - משפטי מוריטה קובעים כי חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם אחד מהם הוא חוג אנדומורפיזמים מעל מודול פרו-יוצר של השני. שקילות זו מוכחת על ידי בניית Morita context לכל מודול פרו-יוצר.
ראו גם
לקריאה נוספת
- T. Lam, Lectures on Modules and Rings, 1998
- Demeyer and Ingraham, Separable Algebras over Commutative Rings, 1970.
מודול יוצר28951263