פולינום ציקלוטומי

בתורת השדות, פולינום ציקלוטומי הוא פולינום מינימלי של שורש יחידה מעל שדה המספרים הרציונליים. לכל מספר שלם n מתאים פולינום ציקלוטומי יחיד, $\ \Phi _{n}$ , שהוא פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, והוא הפולינום המינימלי של כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n. כלומר: $\Phi _{n}(X)=\prod _{\omega }(X-\omega )\,$ , כאשר $\omega$ עובר על כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם: $\ \Phi _{1}(x)=x-1,\qquad \Phi _{2}(x)=x+1,\qquad \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1,\qquad \Phi _{4}(x)=x^{2}+1,\qquad \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ . באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ו- $\ \Phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}x^{k}$

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרימיטיבי של 1 עבור מחלק אחד בדיוק של n, ולכן, אם מכפילים את הפולינומים הציקלוטומיים, מתקבל $x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)$ . מכאן מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית $\ \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{d|n,d<n}\Phi _{d}(x)}}$ .

הפולינום הציקלוטומי הראשון שיש לו מקדם שאינו 0, 1 או 1- הוא $\ \Phi _{105}$ (זה נובע מכך ש-105 הוא המספר הקטן ביותר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים אי-זוגיים שונים); עם זאת, לכל k יש אינסוף ערכים של n שעבורם יש לפולינום הציקלוטומי ה-n-י מקדם הגדול בערכו המוחלט מ- $\ n^{k}$ ^[1].

כאשר מרחיבים את $\ \mathbb {Q}$ בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי $\ \rho _{n}$ , מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, $\ \mathbb {Q} [\rho _{n}]$ . השדה הזה מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של $\ \Phi _{n}(x)$ מעל $\ \mathbb {Q}$ . הרחבת השדות $\ \mathbb {Q} [\rho _{n}]/\mathbb {Q}$ היא מדרגה $\ \phi (n)$ , וחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר מסדר n.