פולינום ציקלוטומי

בתורת השדות, פולינום ציקלוטומי הוא פולינום מינימלי של שורש יחידה מעל שדה המספרים הרציונליים. לכל מספר שלם n מתאים פולינום ציקלוטומי יחיד, $ \ \Phi _{n} $, שהוא פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, והוא הפולינום המינימלי של כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n. כלומר: $ \Phi _{n}(X)=\prod _{\omega }(X-\omega )\, $, כאשר $ \omega $ עובר על כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם: $ \ \Phi _{1}(x)=x-1,\qquad \Phi _{2}(x)=x+1,\qquad \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1,\qquad \Phi _{4}(x)=x^{2}+1,\qquad \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 $. באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ו- $ \ \Phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}x^{k} $

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרימיטיבי של 1 עבור מחלק אחד בדיוק של n, ולכן, אם מכפילים את הפולינומים הציקלוטומיים, מתקבל $ x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x) $. מכאן מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית $ \ \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{d|n,d<n}\Phi _{d}(x)}} $.

הפולינום הציקלוטומי הראשון שיש לו מקדם שאינו 0, 1 או 1- הוא $ \ \Phi _{105} $ (זה נובע מכך ש-105 הוא המספר הקטן ביותר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים אי-זוגיים שונים); עם זאת, לכל k יש אינסוף ערכים של n שעבורם יש לפולינום הציקלוטומי ה-n-י מקדם הגדול בערכו המוחלט מ- $ \ n^{k} $ .

כאשר מרחיבים את $ \ \mathbb {Q} $ בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי $ \ \rho _{n} $, מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, $ \ \mathbb {Q} [\rho _{n}] $. השדה הזה מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של $ \ \Phi _{n}(x) $ מעל $ \ \mathbb {Q} $. הרחבת השדות $ \ \mathbb {Q} [\rho _{n}]/\mathbb {Q} $ היא מדרגה $ \ \phi (n) $, וחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר מסדר n.

קישורים חיצוניים

• פולינום ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינום ציקלוטומי23771497Q1051983