הלמה של גאוס (פולינומים)

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

• המכפלה של שני פולינומים פרימיטיביים, כלומר, פולינומים שלמקדמים שלהם אין גורם משותף פרט ל-1, היא גם פרימיטיבית.
• אם פולינום בעל מקדמים שלמים הוא פולינום אי-פריק מעל חוג המספרים השלמים, אז הוא אי פריק גם מעל שדה המספרים הרציונליים.
• אם $D$ תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים $D[x]$ תחום פריקות יחידה.

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה

הוכחה ללמה הראשונה. יהי $D$ תחום פריקות יחידה, ונניח כי $f(x),g(x)$ פולינומים בעלי מקדמים ב-$D$ . ברור שגם מקדמי המכפלה $f(x)\cdot g(x)$ הם ב-$D$ . אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני $p$ . מכיוון שהאידאל $Dp$ ראשוני, חוג המנה $D/Dp$ הוא שדה, ולכן חוג הפולינומים מעליו $(D/Dp)[x]$ הוא תחום שלמות. לפי ההנחה $f\cdot g=0$ בחוג זה, ולכן $f=0$ או $g=0$ – מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

הוכחה נוספת: יהי $p$ ראשוני. אם $f=\sum _{k=0}^{N}a_{k}x^{k},g=\sum _{k=0}^{M}b_{k}x^{k}$ , יש אינדקסים מינימליים $m,n$ עבורם $a_{n},b_{m}$ לא מתחלקים ב-$p$ . אז $a_{n}b_{m}$ לא מתחלק ב-$p$ , ו-$a_{i}b_{n+m-i}$ מתחלק ב-$p$ לכל $i\neq n$ ולכן המקדם של $x^{n+m}$ ב-$f\cdot g$ (שהוא $a_{n}b_{m}+\sum _{i=0,i\neq n}^{n+m}a_{i}b_{n+m-i}$) לא מתחלק ב-$p$ .