מספר ליוביל
בערך זה |
מספר ליוביל הוא מספר ממשי שניתן לקרב אותו דיופנטית מכל סדר שהוא. פורמלית, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} מספר ליוביל אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} טבעי קיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} ו- שלמים כך שמתקיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0< \left |x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}} }
מספרי ליוביל נקראים על שמו של ז'וזף ליוביל שהוכיח ב-1844 את משפט ליוביל שממנו נובע כי הם מספרים טרנסצנדנטיים. מספרי ליוביל היו המספרים הטרנסצנדנטיים הראשונים שנתגלו.
קבוע ליוביל
הדוגמה המוכרת ביותר למספר ליוביל היא קבוע ליוביל שהוגדר על ידי ליוביל ב-1851:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots}
הספרה 1 מופיעה בפיתוח העשרוני של המספר במקום ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ j!} לאחר הנקודה העשרונית לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} טבעי (ראו עצרת) ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0.
נגדיר סדרות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}; \quad q_n = 10^{n!}}
לכל n טבעי מתקיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} - \sum_{j=1}^n 10^{-j!} = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + {} \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}}
בזכות משפט ליוביל, קבוע ליוביל היה לדוגמה הראשונה המוכרת למספר טרנסצנדנטי.
תכונות
קל לראות שכל מספר ליוביל הוא אי-רציונלי: נניח בשלילה כי מספר ליוביל רציונלי. נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} גדול מספיק, כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{n-1}>b} , ואז לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac pq\ne \frac ab} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q\ge 2} מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{aq-bp}{bq} \right|\ge \frac{1}{bq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}} , בסתירה להגדרה.
לפי משפט ליוביל כל מספר אלגברי אי-רציונלי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר הגדול מהדרגה שלו (מעלת הפולינום המינימלי שלו). מכיוון שמספרי ליוביל אי-רציונליים וניתנים לקירוב מכל סדר הם בהכרח טרנסצנדנטיים.
עוצמה ומידה
נוכל להחליף את המופעים של הספרה 1 בקבוע ליוביל בכל סדרת ספרות שנחפץ, והמספר עדיין יישאר מספר ליוביל. מכאן שעוצמת קבוצת מספרי ליוביל היא כעוצמת קבוצת הסדרות, שהיא עוצמת הרצף. כלומר יש "הרבה יותר" מספרי ליוביל מאשר מספרים אלגבריים (שהם בני-מנייה).
לעומת זאת, קבוצת ליוביל היא קבוצה ממידה אפס והיא זניחה ביחס לקבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים (שהמשלים שלה ממידה אפס). במילים אחרות, כמעט כל המספרים הטרנסצנדנטיים אינם מספרי ליוביל. ההוכחה לכך קצרה:
לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\le q} ו- נגדיר איחוד של קטעים פתוחים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)}
נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L} את קבוצת מספרי ליוביל. כל מספר ליוביל נמצא ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V_{n,q}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q} מסוים ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} . כלומר, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} : . לכן לכל טבעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} :
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap(-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)}
אורך הקטעים הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left|\left(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)-\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}\right)\right|=\frac{2}{q^n}} ולכן:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m^*(L\cap (-m,\, m))\leq\sum\limits_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{4mq+2}{q^n}\leq (4m+1)\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}}\leq (4m+1)\int^\infty_1\frac{dq}{q^{n-1}}\leq\frac{4m+1}{n-2}}
וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0} וזאת לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} . לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L} ממידה אפס.
למספרי ליוביל ממד האוסדורף אפס. מבחינה טופולוגית מספרי ליוביל צפופים בישר הממשי.
קישורים חיצוניים
- מספר ליוביל, באתר MathWorld (באנגלית)
- מספר ליוביל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
