עקום פאנו

עקום פאנו הוא מסילה רציפה, הממלאת שטח דו-ממדי או בעל ממד גבוה יותר. עקומים כאלה תוארו לראשונה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פאנו ב-1890, והיו לדוגמה הראשונה של מה שנודע אחר-כך כפרקטל. פאנו בנה פונקציות אלה כדי להדגים מסילה רציפה שלא ניתן לתחום בשטח קטן.

באופן אינטואיטיבי, אפשר לתאר מסילה רציפה כמסלול שעושה נקודה הנעה, ללא קפיצות, במרחב. כדי לקבל הגדרה מדויקת יותר, הציע קמי ז'ורדן ב-1887 ש"מסילה" היא התמונה של פונקציה רציפה המוגדרת על קטע היחידה $\ [0,1]$ . הגדרה זו, שהפכה לאחד המושגים היסודיים בטופולוגיה, מתאימה לפונקציות מקטע היחידה לכל מרחב טופולוגי. המקרה הפשוט ביותר הוא זה של מסילה במישור הדו-ממדי. לפעמים אין מבחינים בין הפונקציה $\ f:[0,1]\rightarrow X$ לבין התמונה שלה, שהיא אוסף הנקודות $\ \{f(t):0\leq t\leq 1\}$ .

בשנות השמונים של המאה התשע-עשרה גילה גאורג קנטור שקטע היחידה שקול לריבוע היחידה בעוצמתו. פירושה של עובדה זו הוא שקיימת פונקציה מן הקטע אל הריבוע, המכסה את כל הנקודות. פאנו בנה את "עקום פאנו", שהוא, כאמור, מסילה רציפה הממלאת את ריבוע היחידה (או קובייה מממד גבוה יותר) בלי להחמיץ אף נקודה, בניסיון להדגים את התופעה שגילה קנטור.

רוב המסילות שמתמטיקאים נתקלו בהן עד עבודתו של פאנו היו בעלות נגזרות רציפות כמעט בכל מקום, ומסילות כאלה אינן יכולות למלא שטח. משום כך, הדוגמאות של פאנו, שהיו מבוססות על הרעיונות של קנטור ואיחדו אותן עם הזרם המרכזי של המחקר המתמטי, התקבלו בהפתעה רבה.

מן הדוגמאות הדו-ממדיות של פאנו קל לבנות מסילות רציפות שיכסו את הקובייה ה-n ממדית, לכל n. יתרה מזו, אם מוותרים על נקודות הקצה, אפשר לבנות באותה שיטה גם מסילות רציפות שיכסו את המרחב האוקלידי ה-n-ממדי כולו.

הבניה של פאנו, כמו רוב הבניות המפורשות של עקומים מכסי-שטח שהתגלו מאז, מבוססת על הגדרה איטרטיבית של המסילה: בכל שלב נבנית מסילה ליניארית-למקוטעין, המעדנת את השלב הקודם; ראו האיור בצד שמאל. בגבול, מתקבלת מסילה רציפה המבקרת בכל נקודות הריבוע. גם אם בכל שלב סופי המסילה אינה חותכת את עצמה, תכונה זו אובדת במעבר לגבול - מסילה המכסה שטח מוכרחה לחתוך את עצמה. בדומה לזה, לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ורציפה בשני משתנים לקטע ממשי^[1].

כפרקטל, לעקום פאנו יש ממד טופולוגי 1 וממד האוסדורף 2.

בניה של מסילה ממלאת-שטח

הבנייה של פאנו מבוססת על שני רעיונות חשובים של קנטור: ההתאמה בין מספרים ממשיים לסדרות של ספרות (על ידי הצגה בינרית או טרנרית), והבניה של קבוצת קנטור. נסמן ב- C את קבוצת קנטור, שהיא כידוע בעלת עוצמת הרצף. פונקציית קנטור היא פונקציה רציפה $\ h:C\rightarrow [0,1]$ , המכסה את כל הקטע. בעזרתה אפשר להגדיר פונקציה רציפה בין מרחבי המכפלה, $\ H:C\times C\rightarrow [0,1]\times [0,1]$ , לפי הנוסחה $\ H(x,y)=(h(x),h(y))$ .

מכיוון שקבוצת קנטור הומיאומורפית למרחב $\ 2^{\mathbb {N} }$ , ומכיוון שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל $\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ , יש הומיאומורפיזם $\ g:C\rightarrow C\times C$ . ההרכבה $\ f=H\circ g$ היא העתקה רציפה של קבוצת קנטור על ריבוע היחידה. אבל את הפונקציה f אפשר להרחיב לפונקציה רציפה $\ F:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}$ , על ידי השלמה ליניארית בכל אחד מן הקטעים החסרים של C, וזוהי המסילה המבוקשת.