פתית השלג של קוך

פתית השלג של קור הוא פרקטל שהציג המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך.

תיאור

פתית השלג של קוך הידוע גם כעקומת קוך או האי של קוך הוא עקומה פרקטלית שהוצגה לראשונה באמצעות פעולות גאומטריות פשוטות, על ידי המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך בשנת 1904. מקור השם הוא מדמיון העקומה לפתית שלג. פתית השלג של קוך מתקבל על ידי חזרה על שתי פעולות אינסוף פעמים:

• חלוקת כל קו ישר לשלושה חלקים שווי אורך.
• החלפת החלק האמצעי בכל אחד מהישרים בשני חלקים השווים באורכם לחלק שהוסר היוצרים משולש שווה-צלעות עם החלק שהוסר.

את העקום המרשים הזה הגדיר לראשונה קארל ויירשטראס מבלי להיעזר בגאומטריה (חזותית) בשנת 1872, כדי להוכיח שרציפות איננה מספיקה לקיום כיוון. כי בגבול, העקום נשאר רציף, אורכו גדל לאינסוף ואין לו כיוון (או משיק) באף נקודה. הציור של העקום הזה מרשים כל כך עד שהאפיל על מי שהגדיר אותו לראשונה.

אם הצורה הראשונית שנתחיל ממנה היא משולש שווה-צלעות אז הצורה שתתקבל לאחר אינסוף איטרציות היא פתית השלג של קוך.

תכונות

הגדלה אינסופית של פתית השלג של קוך

היקף הפרקטל

בכל פעולה אנחנו מחליפים שליש מהקטע בשני חלקים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע. כלומר, אורך הקטע גדל בשליש מאורכו, הווה אומר, אורך הקטע נהיה ${\tfrac {4}{3}}$ מאורכו המקורי בכל פעולה. לו הינו מבצעים $n$ פעולות אז אורך כל הקטע היה מגיע ל-$\left({\tfrac {4}{3}}\right)^{n}$ , הרי שאם נשאיף את מספר הפעולות לאינסוף נקבל שהיקף פתית השלג של קוך גם הוא שואף לאינסוף:

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty$

שטח הפרקטל

ראוי לשים לב שעל אף היקפו האינסופי, שטח פתית השלג של קוך סופי, והוא קטן משטח המעגל החוסם את המשולש ממנו החלה שרשרת האיטרציות. למעשה ניתן להראות ששטח פתית השלג מתכנס במדויק לערך $1.6a_{0}$ , כאשר $a_{0}$ הוא שטח המשולש שווה הצלעות ההתחלתי.

הוכחה

בכל שלב בבניית הפרקטל כל קטע ישר בו מוחלף בארבעה קטעים ישרים, לכן מספר הקטעים הישרים בו לאחר $n$ איטרציות הוא:

$b_{n}=3\cdot 4^{n}$

המשולשים הנבנים בכל איטרציה הם בעלי יחסי דמיון $1:3$ עם המשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת, ולכן שטחם תשיעית מהמשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת. לפיכך שטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-$n$ הוא:

$a_{n}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}$

השטח שמתווסף לפרקטל באיטרציה ה-$n+1$ שווה למכפלת מספר הקטעים הישרים בסיום האיטרציה ה-$n$ בשטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-$n+1$ . כלומר שטחו הכולל $S$ של הפרקטל הוא:

${\begin{aligned}S=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\!\cdot \!b_{n-1}=a_{0}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{9^{n}}}\right)\cdot 3\cdot 4^{n-1}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\end{aligned}}$

מנוסחת הסיכום הידועה לחישוב סכום סדרה הנדסית יוצא שערך הסכום האינסופי תחת סימן הסכימה מתכנס ל-

${\frac {\frac {4}{9}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {4}{5}}$

לכן ערך השטח הכולל של הפרקטל הוא:

$S=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)={\frac {8}{5}}a_{0}$

ממד האוסדורף

תכונה נוספת נוגעת לממד האוסדורף של פתית השלג. כאמור, בכל פעולה אנחנו מחליפים שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע המקורי בארבעה קטעים מסוג זה. מכאן, שממד האוסדורף של פתית השלג הוא: ${\frac {\log {4}}{\log {3}}}\approx 1.262$. לפתית השלג של קוך ממד שאינו שלם, תכונה אופיינית לפרקטל.

ראו גם

• קבוצת קנטור
• משולש שרפינסקי
• ספוג מנגר
• שופר גבריאל