פתית השלג של קוך
פתית השלג של קור הוא פרקטל שהציג המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך.
תיאור
פתית השלג של קוך הידוע גם כעקומת קוך או האי של קוך הוא עקומה פרקטלית שהוצגה לראשונה באמצעות פעולות גאומטריות פשוטות, על ידי המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך בשנת 1904. מקור השם הוא מדמיון העקומה לפתית שלג. פתית השלג של קוך מתקבל על ידי חזרה על שתי פעולות אינסוף פעמים:
- חלוקת כל קו ישר לשלושה חלקים שווי אורך.
- החלפת החלק האמצעי בכל אחד מהישרים בשני חלקים השווים באורכם לחלק שהוסר היוצרים משולש שווה-צלעות עם החלק שהוסר.
.jpg)
אם הצורה הראשונית שנתחיל ממנה היא משולש שווה-צלעות אז הצורה שתתקבל לאחר אינסוף איטרציות היא פתית השלג של קוך.
תכונות
היקף הפרקטל
בכל פעולה אנחנו מחליפים שליש מהקטע בשני חלקים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע. כלומר, אורך הקטע גדל בשליש מאורכו, הווה אומר, אורך הקטע נהיה מאורכו המקורי בכל פעולה. לו הינו מבצעים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} פעולות אז אורך כל הקטע היה מגיע ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\tfrac43\right)^n} , הרי שאם נשאיף את מספר הפעולות לאינסוף נקבל שהיקף פתית השלג של קוך גם הוא שואף לאינסוף:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac43\right)^n=\infty}
שטח הפרקטל
ראוי לשים לב שעל אף היקפו האינסופי, שטח פתית השלג של קוך סופי, והוא קטן משטח המעגל החוסם את המשולש ממנו החלה שרשרת האיטרציות. למעשה ניתן להראות ששטח פתית השלג מתכנס במדויק לערך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1.6a_0} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0} הוא שטח המשולש שווה הצלעות ההתחלתי.
- הוכחה
בכל שלב בבניית הפרקטל כל קטע ישר בו מוחלף בארבעה קטעים ישרים, לכן מספר הקטעים הישרים בו לאחר איטרציות הוא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_n=3\cdot4^n}
המשולשים הנבנים בכל איטרציה הם בעלי יחסי דמיון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1:3} עם המשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת, ולכן שטחם תשיעית מהמשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת. לפיכך שטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n=\frac{a_0}{9^n}}
השטח שמתווסף לפרקטל באיטרציה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} שווה למכפלת מספר הקטעים הישרים בסיום האיטרציה ה- בשטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} . כלומר שטחו הכולל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} של הפרקטל הוא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}S=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\!\cdot\!b_{n-1}=a_0\left(1+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{9^n}\right)\cdot3\cdot4^{n-1}\right)=a_0\left(1+\frac34\sum_{n=1}^\infty\left(\frac49\right)^n\right)\end{align}}
מנוסחת הסיכום הידועה לחישוב סכום סדרה הנדסית יוצא שערך הסכום האינסופי תחת סימן הסכימה מתכנס ל-
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\frac49}{1-\frac49}=\frac45}
לכן ערך השטח הכולל של הפרקטל הוא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S=a_0\left(1+\frac34\cdot\frac45\right)=\frac85a_0}
ממד האוסדורף
תכונה נוספת נוגעת לממד האוסדורף של פתית השלג. כאמור, בכל פעולה אנחנו מחליפים שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע המקורי בארבעה קטעים מסוג זה. מכאן, שממד האוסדורף של פתית השלג הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\log{4}}{\log{3}}\approx 1.262 } . לפתית השלג של קוך ממד שאינו שלם, תכונה אופיינית לפרקטל.
ראו גם
קישורים חיצוניים
| מיזמי קרן ויקימדיה |
|---|
 תמונות ומדיה בוויקישיתוף: פתית השלג של קוך |