פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/19
אלגברה לינארית היא ענף של האלגברה העוסק בחקר התכונות של וקטורים, מרחבים וקטוריים (או באופן יותר כללי מודולים), מטריצות, טרנספורמציות לינאריות ומערכות של משוואות לינאריות. תחילתה של האלגברה הלינארית במחקר וקטורים במרחב האוקלידי הדו והתלת ממדי, כאשר הם מיוצגים בצורה קרטזית. האלגברה הלינארית המודרנית הכלילה מרחבים אלו למרחבים בעלי מספר שרירותי של ממדים, ואפילו מספר אינסופי של ממדים. רוב התוצאות המועילות מהמקרה הדו והתלת ממדי ניתנות להכללה למספר כלשהו של ממדים.
השלב הבא בהכללה מגיע מתחום האלגברה המופשטת. אף שהמרחבים הווקטורים הוגדרו במקור מעל המספרים הממשיים או המרוכבים (כלומר, כסדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים), אין הכרח בכך, וניתן לחשוב על וקטורים שמוגדרים גם מעל קבוצות בעלות תכונות דומות לאלו של המספרים הממשיים - שיש בהן מושגים של חיבור וכפל שמקיימים מספר תכונות בסיסיות (כמו חוק החילוף וחוק הפילוג). קבוצות כאלו מכונות שדות.
מרחבים וקטוריים הם נושא מרכזי במתמטיקה, ולכן נעשה שימוש נרחב באלגברה לינארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה לינארית במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע. פעמים רבות במתמטיקה כאשר נתקלים בבעיות קשות מנסים לקרב אותן באמצעות תיאור לינארי של הבעיה, ולפתור את הקירוב באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הלינארית. כך למשל מושג הדיפרנציאביליות בחשבון אינפיניטסימלי עוסק ביכולת לקרב את התנהגותה של פונקציה בנקודה מסוימת על ידי טרנספורמציה לינארית.