אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים

אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים מתבססת על הרעיון שאם נפעיל פונקציה על התחום, ההשפעה שלה על נפח כל תיבה בחלוקה קרובה להשפעת הקירוב הלינארי לפונקציה.

קירוב זה הוא נגזרת הפונקציה, ולכן נכפול את האינטגרל המתקבל לאחר הפעלת הפונקציה בערך המוחלט של היעקוביאן, המייצג את השינוי בנפח תיבה לאחר הטרנספורמציה.

הנוסחא

תהי $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ קבוצה פתוחה, ותהי $g:S\to \mathbb {R} ^{n}$ פונקציה חח"ע וגזירה ברציפות על $S$ כך שהיעקוביאן $J_{g}(t)\neq 0$ לכל $t\in S$ .

אזי לכל קבוצה קומפקטית בעלת נפח $A\subseteq g(S)$ ופונקציה רציפה $f:A\to R$ מתקיים:

$\int \limits _{A}f(x)dx=\int \limits _{g^{-}1(A)}\!\!\!\!\!f{\bigl (}g(t){\bigr )}{\bigl |}J(t){\bigr |}dt$

במקרה החד-ממדי

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{g^{-}1(a)}^{g^{-}1(b)}\!\!\!\!f{\bigl (}g(t){\bigr )}\!\cdot \!g'(t)dt$

ראו גם

• יעקוביאן