אינטגרל גאוסיאני (על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס) הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e8bb503159f68b1ad94ff914a06466d92de841)
והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא-טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל
![{\displaystyle \int e^{-x^{2}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b18ce33750f1ecdc2473e517a3ea9f78dfad3c7)
וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר המופיע למעלה.
אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, מתנד הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא-אמיתי).
גאוסיאן במשתנה אחד
הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כלדהלן:
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},\quad a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34fa35edc236215390d86319b7813b42e54c732)
הוכחת הנוסחה
את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:
- מחשבים את
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1bb347252b6cf3d2533422c0a0182ca2d615ec)
- מחשבים את
באמצעות החלפת משתנה.
- מחשבים את
באמצעות השלמה לריבוע.
שלב 1
כדי לחשב
, נכפול את
באותו אינטגרל:
מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים כי
.
נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור
. נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות
כאשר
ו-
הזווית בין
לציר X.
את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של ההתמרה
, ומקבלים כי
.
את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים כי
![{\displaystyle I^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr=\pi \int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}2r\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f963d906aa5027458a3ae5a8eedcf957285c19)
כעת נשים לב כי
ולכן
, ולכן
.
לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים
או לסיכום:
![{\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf47e73e795aec8d7bc6b9a2ca4570813440104)
שלב 2
מבצעים את החלפת המשתנים הבאה:
ואז
שלב 3
ההשלמה לריבוע:
![{\displaystyle -(ax^{2}+bx+c)=-a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {b^{2}}{4a}}-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c3b510b0430dce32ff18bbb286b7ef9b425c5d)
האינטגרציה על הריבוע נותנת
ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.
הערות נוספות
יש לציין שאינטגרל זה הוא פונקציה זוגית ולכן
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0c3c05858b636850888256278bb8c62bf13f0e)
ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}dx&={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1}\\\int \limits _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}dx&={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ba88209fd408f704ec5b96567ed39bf8836499)
אינטגרל גאוסיאני במספר משתנים
אינטגרל של
משתנים בתבנית בילינארית:
![{\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}A_{ij}x^{i}x^{j}}dx^{n}={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d9e1bac6cd0cb570d80dbbcdfad171ca1fe31)
כאשר
היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.
אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה
כאשר המקדם של
הוא
עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ix^{2}}dx&=(1-i){\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\\\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ix^{2}}dx&=(1+i){\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edce44dd203f4f0f567ea345229c1196e2d41a4c)
קישורים חיצוניים