ייצוג צבע של פונקציית טריגמא, ψ 1 (z ) במתמטיקה , פונקציית הטריגמא , המסומנת ψ 1 (z )ψ (1) (z )פונקציות הפוליגמא , והיא מוגדרת על ידי[1] [2]
ψ
1
(
z
)
=
d
2
d
z
2
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}
מהגדרה זו עולה כי
ψ
1
(
z
)
=
d
d
z
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}
כאשר ψ (z )פונקציית הדיגמא . ניתן להגדיר את פונקציית הטריגמא גם כסכום הטור
ψ
1
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
z
+
n
)
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}
מה שהופך את פונקציית הטריגמא למקרה מיוחד של פונקציית הזטה של הורביץ(אנ' )
ψ
1
(
z
)
=
ζ
(
2
,
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)}
שתי הנוסחאות האחרונות תקפות רק כאשר 1 − z אינו מספר טבעי .
חישוב כחלופה לייצוג לעיל, ניתן לייצג את פונקציית טריגמא בעזרת אינטגרל כפול
ψ
1
(
z
)
=
∫
0
1
∫
0
x
x
z
−
1
y
(
1
−
x
)
d
y
d
x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}
האינטגרציה על y
ψ
1
(
z
)
=
−
∫
0
1
x
z
−
1
ln
x
1
−
x
d
x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}
על ידי גזירת הפיתוח האסימפטוטי של פונקציית דיגמה ניתן לקבל את טור לורן הבא:
ψ
1
(
z
)
∼
d
d
z
(
ln
z
−
∑
n
=
1
∞
B
n
n
z
n
)
=
1
z
+
∑
n
=
1
∞
B
n
z
n
+
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
z
n
+
1
=
1
z
+
1
2
z
2
+
1
6
z
3
−
1
30
z
5
+
1
42
z
7
−
1
30
z
9
+
5
66
z
11
−
691
2730
z
13
+
7
6
z
15
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}}
כאשר B n מספר ברנולי ה- n
B
1
=
1
/
2
{\displaystyle B_{1}=1/2}
נוסחאות נסיגה והשתקפות פונקציית טריגמא מקיימת את נוסחת הנסיגה
ψ
1
(
z
+
1
)
=
ψ
1
(
z
)
−
1
z
2
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}
ונוסחת ההשתקפות
ψ
1
(
1
−
z
)
+
ψ
1
(
z
)
=
π
2
sin
2
π
z
{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}
מביטוי זה קל לראות בהצבת
z
=
1
/
2
{\displaystyle z=1/2}
ψ
1
(
1
2
)
=
π
2
2
{\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}
ערכים מיוחדים בערכים חיוביים חצי שלמים מתקבל
ψ
1
(
n
+
1
2
)
=
π
2
2
−
4
∑
k
=
1
n
1
(
2
k
−
1
)
2
.
{\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.}
לפונקציית טריגמא הערכים המיוחדים הבאים:
ψ
1
(
1
4
)
=
π
2
+
8
G
ψ
1
(
1
2
)
=
π
2
2
ψ
1
(
1
)
=
π
2
6
ψ
1
(
3
2
)
=
π
2
2
−
4
ψ
1
(
2
)
=
π
2
6
−
1
ψ
1
(
n
)
=
π
2
6
−
∑
k
=
1
n
−
1
1
k
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}}
כאשר G מייצג קבוע קטלן ו- n הוא מספר שלם חיובי. אך יש אינסוף זוגות שורשים
z
n
,
z
n
¯
{\displaystyle z_{n}\,,{\overline {z_{n}}}}
R
e
z
<
0
{\displaystyle {\mathrm {R} e}\,z<0}
R
e
z
n
=
−
n
+
1
/
2
{\displaystyle {\mathrm {R} e}\,z_{n}=-n+1/2}
n .
הופעה פונקציית טריגמא מופיעה בנוסחת הסכום:
∑
n
=
1
∞
n
2
−
1
2
(
n
2
+
1
2
)
2
(
ψ
1
(
n
−
i
2
)
+
ψ
1
(
n
+
i
2
)
)
=
−
1
+
2
4
π
coth
π
2
−
3
π
2
4
sinh
2
π
2
+
π
4
12
sinh
4
π
2
(
5
+
cosh
π
2
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}
ראו גם קישורים חיצוניים הערות שוליים פונקציית טריגמא 39736130 Q1244426
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d97086322c90ac70241f16c2f7785113a868a15)
