עצרת (מתמטיקה)

n	!n
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1.551121004 × 1025
50	3.041409320 × 1065
100	9.332621544 × 10157
1000	4.023872600 × 102567
10000	~1035659
100000	~10456573
1000000	~105565709
10000000	~1065657059
10100	~1010102

במתמטיקה, עֲצֶרֶת (באנגלית: Factorial) היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ־1 ועד למספר נתון.

למשל, "4 עצרת" היא המכפלה $\ 1\times 2\times 3\times 4=24$.

לציון עצרת של $\ n$ שימש הסימן , אך סימן זה לא היה נוח למדפיסים, ובעקבות הצעתו של המתמטיקאי כריסטיאן קראמפ משנת 1808 מקובל לסמן את העצרת בסימן "!", כלומר, $\ n!=1\times 2\times \cdots \times n$.

העצרת היא פעולה אונארית שאותה אפשר להגדיר ברקורסיה לפי הנוסחה $\ n!=(n-1)!\cdot n$ ותנאי ההתחלה $\ 0!=1$.

סדרת העצרות של המספרים הטבעיים היא סדרה , באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים   .

הערך $\ 0!$

יש בדיוק דרך אחת לסדר 0 איברים (היינו, לא לשבץ אף איבר באף מקום), ולכן $\ 0!=1$. תוצאה זו מתאימה למוסכמה לפיה ערכה של מכפלה ריקה הוא תמיד 1, וכן להגדרת העצרת באינדוקציה ($\ 1!=1\cdot 0!$).

הגדרה זו שימושית גם לנוסחאות שונות בקומבינטוריקה, כגון הנוסחה לבחירת $\ k$ איברים מתוך $\ n$ איברים, שעבור $\ k=n$ (כלומר בחירת כל האיברים) מקבלת את הצורה ${\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1$.

ההתאמה בין ערכי !n לנוסחת סטירלינג

קירוב

עבור $\ n$ גדול, ניתן להשיג קירוב טוב לערך של $\ n!$ באמצעות נוסחת סטירלינג, שקובעת כי $n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

קצב הגידול

ערכיה של הפונקציה נוסקים במהירות רבה ביחס לפונקציות נפוצות אחרות (דוגמת פולינומים ואף פונקציות מעריכיות). נוסחת סטירלינג מראה שעבור n גדול מספיק, מתקיים $\ a^{n}<n!<n^{n}$ לכל a קבוע.

בקומבינטוריקה

העצרת מופיעה בקומבינטוריקה על כל צעד ושעל, משום ש־$\ n!$ הוא מספר התמורות של n איברים, כלומר, מספר הדרכים לסדר n איברים ב־n מקומות. העצרת מופיעה גם בפיתוח טיילור, משום שהנגזרת ה־$\ n$־ית של המונום $\ x^{n}$ שווה ל־$\ n!$.

באנליזה מתמטית

העצרת מופיעה בהקשרים שונים באנליזה מתמטית. דוגמאות:

• המספר ‏e מוגדר כסכום של טור טיילור:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots$

• הפונקציה המעריכית $\ e^{x}$ מוגדרת:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$.

פונקציית גמא

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת המהווה מעין הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם בהכרח שלמים. הפונקציה מוגדרת על כל המישור המרוכב למעט הנקודות $\ 0,-1,-2,\cdots$, לפי האינטגרל $\ \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }{e^{-t}t^{z}\ dt}$. באמצעות אינטגרציה בחלקים ניתן לראות שהיא מקיימת את הזהות $\ \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)$. חישוב ישיר מראה ש־$\ \Gamma (1)=1$, ולכן $\ n!=\Gamma (n+1)$ לכל n טבעי.

עצרת כפולה

עצרת כפולה (Double factorial) היא פונקציה המזכירה את העצרת אך בה מוכפלים רק ערכים בעלי אותה זוגיות. עבור n שלם ואי שלילי מוגדרת העצרת הכפולה $n!!=\prod _{k=0}^{m}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots$, כאשר $m=\lceil n/2\rceil -1$.

מימוש בתוכנה

במרבית שפות התכנות פונקציה לחישוב עצרת איננה חלק מהשפה, אך קל ליצור אחת כזו, בלולאה המבצעת את פעולות הכפל הנדרשות או כפונקציה רקורסיבית.

בכלי עזר לחישוב קיימת פונקציית עצרת. באקסל של מיקרוסופט, וכן ב־calc של אופן אופיס, היא קרויה Fact, קיצור של המונח האנגלי Factorial. בתצוגה המדעית של המחשבון של מערכת ההפעלה Windows מופיע כפתור לחישוב עצרת.

הגידול המהיר בערך התוצאה של פונקציית העצרת גורם לכך שבמסגרת המגבלות של החומרה והתוכנה מוגבל חישוב $\ n!$ לערכי $\ n$ קטנים יחסית. התוצאה הגדולה ביותר שניתן לרשום במילה של 32 סיביות היא $\ 12!$, ובמילה של 64 סיביות - $\ 21!$. באקסל ניתן לחשב עד $\ 170!$, שהיא העצרת הגדולה ביותר שקטנה מ־2^1,024 (מספר בן 1,024 סיביות), בתוכנת המחשבון של מערכת ההפעלה Windows10 (64 סיביות) ניתן לחשב עד $\ 3248!$ (~$\ 10^{9997}$).

ערכי עצרת גדולים מחושבים בדרך כלל באמצעות נוסחת סטירלינג, הנותנת קירוב של התוצאה. בתורת המספרים ובקומבינטוריקה נחוץ לעיתים חישוב עצרת לערכים גדולים מאוד. לשם כך נדרשת כתיבה של פונקציה מיוחדת, ונוצר צורך בבחירת אלגוריתם יעיל, כדי לקבל תוצאות תוך זמן סביר.

ביהדות

העצרת מופיעה בספר יצירה הקדום (פרק רביעי), ובעקבותיו גם במקורות רבים אחרים בקבלה. תפקידה שם הוא לספור את המלים השונות שאפשר להרכיב מאותיות נתונות, תוך שימוש בכל האותיות וללא חזרה, והיא נקראת "בניה" - "שתי אבנים בונות שני בתים, שלוש אבנים בונות ששה בתים, ...". הספר מגיע עד לחישוב של 7 עצרת, ו"מכאן ואילך, צא וחשוב (וחשב), מה שאין העין יכולה לראות, ואין הפה יכולה לדבר, ואין האזן יכולה לשמוע".

ראו גם

• נוסחת לז'נדר
• מספר משולשי - האנלוג החיבורי של $n!$
• משפט וילסון
• עצרת מעריכית
• מקדם בינומי

קישורים חיצוניים

• מחשבון לחישוב עצרת
• תכונות של פונקציית העצרת
• יפעת אדלר וארי שביב, אפס עצרת ופונקציית גמא, באתר מכון דוידסון, אפריל 2015
• עצרת (מתמטיקה), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• עצרת, באתר MathWorld (באנגלית)
• עצרת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31399010עצרת (מתמטיקה)