עצרת מעריכית

עצרת מעריכית של מספר טבעי $ n $ היא תוצאת הפעלת פעולת החזקה בשרשרת

$ n^{{(n-1)}^{{(n-2)}^{~{.~}^{{.~}^{{.~}^{2^{1}}}}}}} $

ניתן להגדיר את העצרת המעריכית באופן רקורסיבי:

$ a_{1}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}} $

יש לשים לב כי קודם מתבצעות פעולות החזקה העליונות ביותר (כמקובל במגדל חזקות).

ארבעת העצרות המעריכיות הראשונות הן 1, 2, 9, 262144. האיבר הרביעי בסדרה מחושב כלהלן:

$ 262144=4^{3^{2^{1}}} $

העצרות המעריכיות גדלות מהר בהרבה מעצרת רגילה. העצרת המעריכית של 5 למשל היא $ 5^{262144} $ , מספר בעל 183,231 ספרות. באופן כללי מספר הספרות ב-$ a_{n} $ הוא מסדר גודל של $ a_{n-1}\log(n) $ .

טור ההופכיים של ערכי העצרת המעריכית מתכנס:

$ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}=1.6111149258083767361111\ldots $

סכום הטור הוא מספר ליוביל ולכן לפי משפט ליוביל הוא מספר טרנסצנדנטי.