נוסחת לז'נדר

בתורת המספרים, נוסחת לז'נדר קובעת את הפירוק לגורמים ראשוניים של $n!$ , כאשר הסימן $!$ מסמן את פעולת העצרת.

$n!=\prod _{p\leq n}p^{\left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\dfrac {n}{p^{k}}}\right\rfloor \right)}$

כאשר $p$ ראשוני ו-$\lfloor x\rfloor$ פונקציית הערך השלם (עיגול כלפי מטה).

בניסוח שקול, הנוסחה קובעת שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני $p$ המחלקת את $n!$ הוא $\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$ . הסכום האינסופי לכאורה הוא למעשה סכום סופי, שכן החל משלב מסוים כל איברי הסכום מתאפסים משום שעבור $p^{k}>n$ מתקיים $\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =0$ .

הנוסחה, הנקראת על שם המתמטיקאי אדריאן-מארי לז'נדר, נקראת גם נוסחת דה פוליניאק על שם אלפונס דה פוליניאק.

הוכחה

$n!$ הוא מכפלת המספרים מ-1 עד $n$ . לכן המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני $p$ המחלקת אותו הוא סכום המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של $p$ המחלקות כל אחד מהמספרים מ-1 עד $n$ . כל ראשוני $p$ מחלק בדיוק $\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor$ מספרים מ-1 עד $n$ (שכן כפולותיו הן $p,2p,3p,\ldots ,\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor p$). ביניהם $\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor$ מספרים המתחלקים אפילו ב-$p^{2}$ , ולכן יש לספור אותם פעם נוספת. ובאופן כללי, יש ביניהם בדיוק $\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$ המתחלקים ב-$p^{k}$ , ויש לספור אותם שוב. נסכום את כל המקרים יחדיו ונקבל שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ הוא $\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$ .

דוגמה

נמצא כמה אפסים מופיעים בסוף הכתיב העשרוני של המספר $199!$ . מספרם שווה למעריך של החזקה הגבוהה ביותר של 10 המחלקת את $199!$ . הפירוק לגורמים של חזקות של 10 הוא $10^{m}=2^{m}\cdot 5^{m}$ . לכן המעריך המבוקש יהיה הקטן מבין המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של הראשוניים 2 ו-5 המחלקות את $199!$ . ברור כי המעריך הגבוה יותר מבין השניים הוא זה של 2 (שכן הוא מחלק יותר מספרים בין 1 ל-199) ולכן מספיק למצוא את המעריך של 5. לפי הנוסחה המעריך הוא:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {199}{5^{k}}}\right\rfloor =39+7+1+0+0+\cdots =47$

מכאן שהמספר $199!$ מסתיים ב-47 אפסים.

ניסוח שקול

נסמן $S_{p}(n)$ את סכום הספרות של $n$ בבסיס $p$ . ניסוח שקול לנוסחת לז'נדר קובע שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ הוא ${\frac {n-S_{p}(n)}{p-1}}$ .

הוכחה

נציג את $n$ בבסיס $p$ :

$n=a_{r}p^{r}+a_{r-1}p^{r-1}+\cdots +a_{1}p+a_{0}\quad ;\quad a_{r},\ldots ,a_{0}<p$

כעת נשים לב כי

${\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {a_{r}p^{r}+\cdots +a_{0}}{p^{k}}}\right\rfloor ={\bigg \lfloor }a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k}+a_{k-1}p^{-1}+\cdots +a_{0}p^{-k}{\bigg \rfloor }=a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k}}$

זאת מכיוון ש-$a_{k-1}p^{-1}+\ldots +a_{0}p^{-k}<1$ . מכאן לפי נוסחת לז'נדר המעריך של חזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ הוא:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\sum _{k=1}^{\infty }(a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k})$

נבחין כי בטור האחרון לכל $1\leq i\leq r$ , המקדם $a_{i}$ מופיע פעם אחת בדיוק כמקדם של כל אחד מבין $1,p,\ldots ,p^{i-1}$ . לכן נוכל לסדר מחדש את הטור האחרון בצורה:

${=\sum _{i=1}^{r}a_{i}(1+p+\cdots +p^{i-1})=\sum _{i=1}^{r}a_{i}\left({\frac {p^{i}-1}{p-1}}\right)={\frac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}p^{i}-\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)={\frac {(n-a_{0})-(S_{p}(n)-a_{0})}{p-1}}={\frac {n-S_{p}(n)}{p-1}}}$

במעבר הראשון עשינו שימוש בנוסחה לסכום טור גאומטרי.

שימושים

מקדם בינומי ${\tbinom {n}{r}}={\tfrac {n!}{r!(n-r)!}}$ שווה למספר תת-הקבוצות מגודל $r$ שיש לקבוצה בגודל $n$ . מכאן שהוא בהכרח מספר שלם. עם זאת, זוהי הוכחה קומבינטורית לטענה, ואילו נוסחת לז'נדר מספקת הוכחה אלמנטרית לטענה (כזו המסתמכת רק על תכונות מספרים).

פונקציית הערך השלם מקיימת את אי-השוויון הטריוויאלי $\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor$ . לכן מתקיים:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {r}{p^{k}}}\right\rfloor +\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n-r}{p^{k}}}\right\rfloor \leq \sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor$

לפי נוסחת לז'נדר אגף ימין הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $n!$ , בעוד אגף שמאל הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את $r!(n-r)!$ . מאי-השוויון אנו מסיקים שלכל חזקת ראשוני בפירוק של $r!(n-r)!$ לגורמים, כפולה שלו מופיעה בפירוק של $n!$ , ולכן $n!$ מתחלק ב-$r!(n-r)!$ , כלומר ${\tbinom {n}{r}}={\tfrac {n!}{r!(n-r)!}}$ מספר שלם.

לפי נוסחת לז'נדר המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של $p$ המחלקת את ${\tbinom {2n}{n}}$ הוא $\sum _{k=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {2n}{p^{k}}}\right\rfloor -2\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor \right)$ , עובדה המשמשת בהוכחה האלמנטרית של ארדש להשערת ברטראן.