גרף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936c35bb134a89cda58bd4b4a628e333341022e)
לפונקציה
יש סינגולריות בתחום
, אז הפונקציה מוגדרת במפורש לכל
, ומוגדרת לכל
על ידי עקרון הערך של קושי, על ידי:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int \limits _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int \limits _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab1a06a59989c245a2cb0803ba354e11d5a80f1)
פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך
פונקציית האינטרגל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגריתמי של אוילר מוגדרת להיות:
![{\displaystyle {\text{Li}}(x)={\text{li}}(x)-{\text{li}}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d9f19864fd0da7da8c5a1eb70a86d92a6306e7)
או בצורה אינטגרלית:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8d146ab62f8166bb12d5d066cfb0e4585fcc60)
פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית. פונקציה זו יותר מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-
.
הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי
לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי על ידי המשוואה:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)={\text{Ei}}{\bigl (}\ln(x){\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50476cb2073a22836e792401fca73b617fefa24)
שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:
![{\displaystyle {\text{li}}(e^{u})={\text{Ei}}(u)=\gamma +\ln {\bigl (}|u|{\bigr )}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n\cdot n!}}\quad :u\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e647b688c0ab3ff2d86d27b6fe5fab8837de04)
חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)=\gamma +\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{n-1}{\frac {\ln(x)^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa5fb58a96ccb280f0709eadc6855bcfaa14ec4)
הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית
ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. למשל:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)=O\left({\frac {x}{\ln(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6ce6d8b98eae0d7f9d3a2f5c9c44efe8f57329)
כאשר O מייצג את סימן O גדולה. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{\ln(x)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b211c3cace966048519fa206666c6413bfa2ab5b)
או:
![{\displaystyle {\frac {{\text{li}}(x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}\sim 1+{\frac {1}{\ln(x)}}+{\frac {2}{\ln(x)^{2}}}+{\frac {6}{\ln(x)^{3}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a984d9ed25ff37208d7cacf19d5eb5d3350da454)
רישום זה גורר לרישום הבא:
![{\displaystyle {\text{li}}(x)-{\frac {x}{\ln(x)}}=O\left({\frac {x}{\ln(x)^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa89c05b2f10eef145032fdf7176680d5998c240)
הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של אברים.
ערכים מיוחדים של הפונקציה
לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא
. בנוסף לכך, ערך הפונקציה בנקודה
הוא גם
כאשר
היא פונקציית גמא הלא-שלמה.
ראו גם