עקומה

פרבולה, דוגמה פשוטה של עקומה

במתמטיקה, עקומה היא קו חד־ממדי ורציף. בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו. עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, אנליזה מתמטית וטופולוגיה.

דוגמאות פשוטות לעקומות הן קו ישר, מעגל, חתכי חרוט אחרים, גרף של פונקציה רציפה וכדומה.

הגדרה פורמלית

כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות פונקציה רציפה שתחומה הוא קטע של המספרים הממשיים, וטווחה הוא מרחב טופולוגי כלשהו. בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה. מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.

יהא $I\subseteq \mathbb {R}$ קטע על הישר הממשי. נקרא לפונקציה $\gamma :I\to X$ עקומה אם $X$ הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו־$\gamma$ היא פונקציה רציפה. בדרך־כלל, כאשר משתמשים במונח "עקומה" מניחים כי $X=\mathbb {R} ^{n}$ הוא המרחב האוקלידי ה־$n$־ממדי. במקרה זה, למרחב הטופולוגי יש גם מבנה של מרחב וקטורי ומרחב מטרי ואפשר לנתח את העקומה בכלים של אנליזה וקטורית וגאומטריה דיפרנציאלית.

עקומה פשוטה

אם $\gamma$ חד־חד־ערכית נאמר שהיא עקומה פשוטה. מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות לאחור", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.

עקומה רגולרית

עקומה $\gamma (t)={\bigl (}\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t){\bigr )}\in \mathbb {R} ^{n}$ נקראת "רגולרית" אם הוקטור המשיק לעקומה ${\dot {\gamma }}(t)={\frac {d}{dt}}\gamma (t)$ לא מתאפס באף נקודה. כלומר: $\forall t:|{\dot {\gamma }}(t)|\neq 0$ , או העקומה לא "נעצרת" או "חוזרת על עקבותיה".

עקומה סגורה

אם $I=[a,b]$ , כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם $\gamma (a)=\gamma (b)$ אזי נאמר כי העקומה סגורה (שני קצוותיה מחוברים). אם היא חד־חד־ערכית פרט לקצוות, נאמר כי היא פשוטה וסגורה. ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של מעגל היחידה במישור. עקומה שכזו מכונה לעיתים קרובות עקומת ז'ורדן ויש לה שימושים רבים במתמטיקה.

עקומה חלקה למקוטעין

עקומה $\gamma (t)$ נקראת "חלקה למקוטעין" אם היא רציפה וגזירה ברציפות פרט למספר סופי של נקודות (למשל משולש).

אורך של עקומה

במרחב מטרי $X$ אורך של עקומה $\gamma :[a,b]\to X$ מוגדר על־ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{length}(\gamma)=\ell(\gamma)=\sup\left\{\sum_{k=1}^n d\bigl(\gamma(t_{k-1}),\gamma(t_k)\bigr)\right\}}

כאשר הסופרמום רץ על כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\N} ועל כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=t_0<t_1<\cdots<t_{n-1}<t_n=b} חלוקה של הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} . זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קוים ישרים) המקרבות את העקומה.

אם העקומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(t)} גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell(\gamma)=\int\limits_a^b\|\gamma'(t)\|dt}

במקרה שהעקומה נתונה כגרף של פונקציה רציפה $y=f(x)$ אורך משיק אינפיניטסימלי של קירוב פוליגוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\ell} , הוא לפי משפט פיתגורס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\ell^2=dx^2+dy^2} , אם הפונקציה גזירה אזי אפשר לרשום

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell=\int\limits_a^b d\ell=\int\limits_a^b\sqrt{dx^2+dy^2}=\int\limits_a^b\sqrt{1+\left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}dx=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx}

לנוסחה זו אפשר להגיע באופן ריגורוזי על ידי הצבת הפרמרטריזציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (t,f(t))} בנוסחה הכללית.

פרמטריזציה טבעית

לעקומה רגולרית אפשר להגדיר פרמטריזציה טבעית שבה הפרמטר האפיני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} מוחלף באורך העקומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell} . במקרה זה

$d\ell =\|{\dot {\gamma }}(t)\|dt=\|\gamma '(t)\|dt$

כאשר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell(t)=\int\limits_{t_0}^t\|\gamma'(\tau)\|d\tau}

הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell(t)} נקרא "הפרמטר הטבעי" של עקומה.

אזי מתקיים כי וקטור המשיק הוא תמיד מנורמל, שכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\|\frac{d\gamma(\ell)}{d\ell}\right\|=\frac1{\|\dot{\gamma}\|}\left\|\frac{d\gamma}{dt}\right\|=1}

במשוואות פרנה ומשוואות פרנה-סרה משתמשים בעקומות בעלות פרמטריזציה טבעית, וכן גם בהגדרת האוולוט.

ראו גם

• חבורה יסודית
• עקום אלגברי

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0