משוואות פרנה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור $\gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}$ בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה (Frenet) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה והווקטור הנורמל לו, כתלות בעקמומיות העקומה. חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציית עקמומיות רגולרית, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.

תהי ${\vec {\gamma }}\in C^{2}[0,L]$ עקומה רגולרית ( $\ |{\vec {\gamma }}'(s)|\neq 0$ ) וגזירה פעמיים ברציפות בפרמטר הטבעי. נגדיר וקטור משיק על ידי

\ {\vec {v}}(s)={\vec {\gamma '}}(s)=d{\vec {\gamma }}/ds

מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. נשלים וקטור זה לבסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, ${\vec {n}}(s)$ הניצב לווקטור המשיק. משוואות פרנה טוענות ש-

\ {\begin{array}{c}{\vec {v'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {v}}(s)=+k(s){\vec {n}}(s)\\{\vec {n'}}(s)={\frac {d}{ds}}{\vec {n}}(s)=-k(s){\vec {v}}(s)\end{array}}

כאשר $\ k(s)$ היא העקמומיות. זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות ומסדר ראשון. נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית:

\left[{\begin{array}{c}{\vec {v'}}\\{\vec {n'}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&+k(s)\\-k(s)&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\vec {v}}\\{\vec {n}}\end{array}}\right]

נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית. עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.

את המשוואות ניתן להסיק באופן הבא:

מאחר ש-v מוגדר להיות וקטור יחידה הוא מקיים את השוויון $\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle =1$ . נגזור את שני אגפי המשוואה $0=2\langle {\vec {v'}},{\vec {v}}\rangle$ . כלומר: 'v אורתוגונלי ל-v ולכן הוא פרופורציונלי, או מקביל, ל-n. גורם הפרופורציה מוגדר להיות $\ k(s)$ - העקמומיות. מכאן נובעת משוואת פרנה הראשונה.
באותו אופן, נגזור את $\langle {\vec {n}},{\vec {n}}\rangle =1$ ונקבל ש-'n מקביל ל-v.
כעת נגזור את $\langle {\vec {v}},{\vec {n}}\rangle =0$ ונקבל $\ 0=\langle {\vec {v'}},{\vec {n}}\rangle +\langle {\vec {v}},{\vec {n}}'\rangle =\langle k{\vec {n}},{\vec {n}}\rangle +\langle {\vec {v}},\lambda {\vec {v}}\rangle =k+\lambda$ ומכאן $\ \lambda =-k$ ומשוואת פרנה השנייה.