נוסחת ברטשניידר

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}S&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)}\\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{abcd\bigl[1+\cos(\alpha+\gamma)\bigr]}{2}}\end{align}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d} צלעות המרובע, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} מחצית ההיקף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\gamma} הן זוויות נגדיות.

הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת בראהמגופטה, המתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

שרטוט להוכחה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}S&=\triangle ADB+\triangle BDC\\&=\frac{ad\sin(\alpha)}{2}+\frac{bc\sin(\gamma)}{2}\end{align}}

מכאן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4S^2=(ad)^2\sin^2(\alpha)+(bc)^2\sin^2(\gamma)+2abcd\sin(\alpha)\sin(\gamma)}

על פי משפט הקוסינוסים:

${\begin{aligned}BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos(\alpha )=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\gamma )\\{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}(\alpha )+(bc)^{2}\cos ^{2}(\gamma )-2abcd\cos(\alpha )\cos(\gamma )\end{aligned}}$

נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}4S^2+\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4}&=(ad)^2+(bc)^2-2abcd\cos(\alpha+\gamma)\\&=(ad+bc)^2-4abcd\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)\end{align}}

מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

${\begin{aligned}16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\\S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}\end{aligned}}$

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2}} מחצית ההיקף.