נגזרת חלשה

נגזרת חלשה היא מושג בחשבון אינפיניטסימלי המהווה הכללה של מושג הנגזרת של פונקציה, ומתייחס גם לפונקציות לא-גזירות, שהן אינטגרביליות לפי לבג. הגדרה רחבה זו נעשית באמצעות פונקציית מבחן – פונקציה חלקה עם תומך קומפקטי המתאפסת מחוץ לקטע חסום כלשהו. הנגזרת החלשה של פונקציה גזירה שווה לנגזרת המקורית (החזקה) של הפונקציה, ובמובן זה נגזרת חזקה היא מקרה של נגזרת חלשה.

הגדרה

תהא $u$ פונקציה בתת-מרחב $L^{1}([a,b])$ אנו אומרים כי $v$ ב-$L^{1}([a,b])$ היא נגזרת חלשה של $u$ אם

$\int \limits _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int \limits _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt$

לכל הפונקציות הדיפרנציאביליות בתחום בלתי מוגבל $\varphi$ אם $\varphi (a)=\varphi (b)=0$ . הגדרה זו נובעת משילוב של טכניקת האינטגרציה בחלקים.

הכללה ל-$n$-ממדים, אם $u,v$ הם במרחב $L_{loc}^{1}(U)$ של פונקציות אינטגרביליות באופן מקומי עבור חלק מהקבוצה הפתוחה $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ , ואם $\alpha$ הוא רב מדד, אנו אומרים כי $v$ הוא $\alpha ^{th}$ – נגזרת חלשה של $u$ אם

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$

לכל $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ , כלומר לכל פונקציות דיפרנציאביליות בכל התחום $\varphi$ שלהם קיימת תמיכה קומפקטית ב-$U$ . אם ל-$u$ יש נגזרת חלשה, הוא לעיתים קרובות נכתב כך: $D^{\alpha }u$ מכיוון שנגזרות חלשות הם ייחודיות (לפחות, עד לסט של מדידה אפס, ראה להלן).

דוגמאות

לפונקציית הערך המוחלט $u:[-1,1]\to [0,1],u(t)=|t|$ , שאינה דיפרנציאבילית ב-$t=0$ , יש נגזרת חלשה $v$ שידועה כפונקציית הסימן הניתנת על ידי:

$v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1&:t>0\\0&:t=0\\-1&:t<0\end{cases}}$

זו אינה נגזרת חלשה רק עבור $U$ : כל $w$ שהוא שווה ל-$v$ כמעט בכל מקום הוא גם נגזרת חלשה עבור $u$ . בדרך כלל, זו אינה בעיה, מאחר שבתאוריה של במרחבי $L^{p}$ וחללי Sobolev, שניהם ממלאים תפקידים דומים כמעט בכל מקום מזוהה.

הפונקציה האופיינית של המספרים רציונליים בשום מקום אינה גזירה אך יש נגזרת חלשה. מאז המידה לבג של המספרים רציונליים היא אפס, כך היא נגזרת חלשה. שים לב שזה אינו מסכים עם האינטואיציה שלנו שכן, כאשר נחשבו כחבר במרחב $L^{p}$ , מזוהה עם הפונקציה אפס.

אם שתי פונקציות הם נגזרות חלשות של אותו התפקיד, הם שוות אלא על קבוצה עם מידת לבג אפס, כלומר, הם שוות כמעט בכל מקום. אם ניקח בחשבון כיתות שקילות של פונקציות, שבו שתי פונקציות הן שווה ערך אם הם שוות כמעט בכל מקום, ולאחר מכן את הנגזרת החלשה היא ייחודית.

כמו כן, אם $U$ גזירה במובן המקובל אז הנגזרת החלשה שלה זהה (במובן שניתן לעיל) לנגזרת (חזקה) הקונבנציונלית שלה. לכן הנגזרת החלשה היא הכללה של אחת החזקה. יתר על כן, הכללים הקלסיים לנגזרות של סכומים ומכפלות של פונקציות תקפים גם לנגזרת החלשה.

מושג זה מעורר את ההגדרה של פתרונות חלשים במרחבי Sobolev, אשר מועילים לבעיות של משוואות דיפרנציאליות ובאנליזה פונקציונלית.