משפט נקודת השבת של בנך

משפט נקודת השבת של בנך הוא משפט חשוב באנליזה מתמטית ובתאוריה של מרחבים מטריים. הוא נותן תנאי מספיק לקיומה של נקודת שבת עבור פונקציות מסוימות, וכן מספק דרך קונסטרוקטיבית למצוא נקודה זו באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של הפונקציה. המשפט נקרא על שם סטפן בנך, שניסח אותו לראשונה בשנת 1922.

ניסוח המשפט

אם $(X,d)$ הוא מרחב מטרי שלם והפונקציה $f:X\to X$ היא העתקה מכווצת (כלומר, קיים $q<1$ עבורו $d{\bigl (}f(x_{1}),f(x_{2}){\bigr )}\leq q\cdot d(x_{1},x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2}\in X$), אז קיימת נקודת שבת אחת ויחידה $x^{*}\in X$ (זוהי נקודה המקיימת $f(x^{*})=x^{*}$).

למשל במקרה ש-$X$ הוא הישר הממשי נקבל שאם קיים קבוע $q<1$ כך שלכל $x_{1},x_{2}$ ממשיים מתקיים ${\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}\leq q|x_{1}-x_{2}|$ , אז למשוואה $f(x)=x$ יש פתרון אחד ויחיד.

יתר על כן, נקודה זו יכולה להימצא באופן הבא: אם $x_{0}\in X$ היא נקודה כלשהי במרחב ונגדיר סדרה על ידי הפעלות חוזרות ונשנות של $f$ בצורה הבאה: $x_{n+1}=f(x_{n})$ עבור $n=0,1,2,3,\ldots$ , אז סדרה זו מתכנסת אל $x^{*}$ . המרחק בין נקודות עוקבות בסדרה קטן בקצב גאומטרי ולכן זו היא סדרת קושי וגבולה הוא הנקודה המבוקשת. ניתן להעריך את קצב ההתכנסות באמצעות אי-השוויון הבא:

$$d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})$$

הוכחה

בוחרים $x_{0}\in X$ ומגדירים סדרה $x_{n+1}=f(x_{n})$ . לפי תכונת הכיווץ מתקיים

$d(x_{n+1},x_{n})=d{\bigl (}f(x_{n}),f(x_{n-1}){\bigr )}\leq q\cdot d(x_{n},x_{n-1})$

ומכאן באינדוקציה נובע כי $d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})$ .

נקבל שלכל $n<m$ מתקיים:

${\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{n+1},x_{n})+\cdots +d(x_{m},x_{m-1})\leq q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{m-1}\cdot d(x_{1},x_{0})\\=q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})(1+q+\cdots +q^{m-n-1})\leq q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})(1+q+q^{2}+\cdots )={\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}$

נקבל כי ל-$n$ גדול מספיק ולכל $n<m$ , $d(x_{m},x_{n})$ קטן כרצוננו, ולכן $(x_{n})_{n}$ היא סדרת קושי. מכיוון שהמרחב שלם, כל סדרת קושי מתכנסת. נסמן $x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ . זוהי נקודת שבת שכן:

$f(x^{*})=f{\bigl (}\lim _{n\to \infty }x_{n}{\bigr )}=\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}$

הסתמכנו על הרציפות במידה שווה של $f$ שנובעת מתכונת הכיווץ.

נוכיח את יחידות נקודת השבת. נניח $x^{*},y^{*}$ הן נקודות שבת. אז:

$d(x^{*},y^{*})=d{\bigl (}f(x^{*}),f(y^{*}){\bigr )}\leq q\cdot d(x^{*},y^{*})$

מכיוון ש-$q<1$ נקבל שבהכרח $d(x^{*},y^{*})=0$ , ולכן $x^{*}=y^{*}$ .

הערות

• דרישת השלמות היא הכרחית. למשל: נסמן $X=\mathbb {Q} \cap [1,2]$ , (אוסף המספרים הרציונליים בקטע $[1,2]$). אזי ההעתקה $f(x)=x-{\frac {x^{2}-2}{4}}$ היא העתקה מכווצת מ-$X$ לעצמו,

אך אין לה נקודת שבת ב-$X$ , שכן הפתרונות ל-$f(x)=x$ בין המספרים הממשיים הם $x=\pm {\sqrt {2}}$ , ואלו אינם שייכים ל-$X$ .

• במרחב מטרי קומפקטי, אפשר להחליף את הדרישה לכיווץ "במידה שווה" ($d{\bigl (}f(x_{1}),f(x_{2}){\bigr )}\leq q\cdot d(x_{1},x_{2})$) בדרישה החלשה יותר $d{\bigl (}f(x),f(y){\bigr )}<d(x_{1},x_{2})$ , ועדיין מובטח קיומה של נקודת שבת. ניתן להוכיח זאת באמצעות הגדרת הפונקציה $g(x)=d{\bigl (}x,f(x){\bigr )}$ . פונקציה זו רציפה, ומהיותה רציפה על קטע קומפקטי היא מקבלת מינימום עבור $x_{0}$ כלשהי במרחב הקומפקטי. ניתן להראות כי ערך מינימלי זה הוא 0, ועל-כן $x_{0}$ היא נקודת שבת. היחידות נובעת מהיותה של הפונקציה מכווצת.
• במרחב מטרי כללי טענה זו אינה נכונה; לדוגמה, הפונקציה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ המוגדרת על ידי $f(x)={\frac {\pi }{2}}+x-\arctan(x)$ , כאשר $\arctan :\mathbb {R} \to \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ , מקיימת את אי-השוויון ${\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}<|x_{1}-x_{2}|$ , אך אין לה נקודת שבת ב-$\mathbb {R}$ .

שימושים

המשפט משמש להוכחת משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות ולהוכחת משפט הפונקציה ההפוכה. המשפט גם שימושי מאוד באנליזה נומרית, להוכחה קונסטרוקטיבית של קיום נקודות שבת של פונקציות איטרטיביות, וכך משיגים קירובים נומריים לשורשים של משוואות.