משפט הפונקציה ההפוכה
באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.
ניסוח
תהי $ A\subset \mathbb {R} ^{n} $ קבוצה פתוחה ותהי $ f:A\to \mathbb {R} ^{n} $ גזירה ברציפות.
תהי $ a\in A $ עבורה היעקוביאן בנקודה $ J_{f}(a)\neq 0 $ . קיימת קבוצה פתוחה $ W\subset A $ המקיימת $ a\in W $ , וקיימת קבוצה $ U\subset W $ כאשר $ f $ חד-חד-ערכית ב-$ U $ .
כמו כן, $ V=f(U) $ היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה $ f^{-1}:V\to U $ גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של $ f^{-1} $ מקיימת: $ D_{f^{-1}}(f(x))=D_{f}^{-1}(x) $ לכל $ x\in U $ .
מקרה פרטי
זוהי הכללה של המקרה הפרטי $ n=1 $ :
תהי $ f:A\to \mathbb {R} $ גזירה ברציפות. תהי $ a\in A $ נקודה המקיימת $ f'(a)\neq 0 $ .
מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק כי קיימת $ \delta >0 $ כך לכל $ x\in (a-\delta ,a+\delta ) $ מתקיים $ f'(x)\neq 0 $ .
נניח כי $ f'(a)>0 $ אז מהיות $ f' $ רציפה, לכל $ x\in (a-\delta ,a+\delta ) $ מתקיים $ f'(x)>0 $ שהרי אחרת היה קיים $ f'(x_{0})=0 $ לכל $ x_{0}\in (a-\delta ,a+\delta ) $ – לפי משפט ערך הביניים.
לכן $ f $ מונוטונית עולה ממש בכל $ (a-\delta ,a+\delta ) $ גורר כי $ f $ חד-חד-ערכית בכל $ (a-\delta ,a+\delta ) $ .
מכאן ניתן להגדיר $ f^{-1}:f{\bigl (}(a-\delta ,a+\delta ){\bigr )}\to (a-\delta ,a+\delta ) $ הגזירה בכל נקודה פנימית בסביבה $ (a-\delta ,a+\delta ) $ על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה:
- $ \left(f^{-1}\right)'(x)={\frac {1}{f'{\bigl (}f^{-1}(x){\bigr )}}} $
כי $ f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta ) $ ובקטע זה $ f'(x)\neq 0 $ .
