משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוח

תהי $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ קבוצה פתוחה ותהי $f:A\to \mathbb {R} ^{n}$ גזירה ברציפות.

תהי $a\in A$ עבורה היעקוביאן בנקודה $J_{f}(a)\neq 0$ . קיימת קבוצה פתוחה $W\subset A$ המקיימת $a\in W$ , וקיימת קבוצה $U\subset W$ כאשר $f$ חד-חד-ערכית ב-$U$ .

כמו כן, $V=f(U)$ היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה $f^{-1}:V\to U$ גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של $f^{-1}$ מקיימת: $D_{f^{-1}}(f(x))=D_{f}^{-1}(x)$ לכל $x\in U$ .

מקרה פרטי

זוהי הכללה של המקרה הפרטי $n=1$ :

תהי $f:A\to \mathbb {R}$ גזירה ברציפות. תהי $a\in A$ נקודה המקיימת $f'(a)\neq 0$ .

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק כי קיימת $\delta >0$ כך לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ מתקיים $f'(x)\neq 0$ .

נניח כי $f'(a)>0$ אז מהיות $f'$ רציפה, לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ מתקיים $f'(x)>0$ שהרי אחרת היה קיים $f'(x_{0})=0$ לכל $x_{0}\in (a-\delta ,a+\delta )$ – לפי משפט ערך הביניים.

לכן $f$ מונוטונית עולה ממש בכל $(a-\delta ,a+\delta )$ גורר כי $f$ חד-חד-ערכית בכל $(a-\delta ,a+\delta )$ .

מכאן ניתן להגדיר $f^{-1}:f{\bigl (}(a-\delta ,a+\delta ){\bigr )}\to (a-\delta ,a+\delta )$ הגזירה בכל נקודה פנימית בסביבה $(a-\delta ,a+\delta )$ על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה:

$\left(f^{-1}\right)'(x)={\frac {1}{f'{\bigl (}f^{-1}(x){\bigr )}}}$

כי $f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )$ ובקטע זה $f'(x)\neq 0$ .

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0