משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)
במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.
המשפט נקרא גם משפט פיקארד-לינדלוף, משפט הקיום של פיקארד או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: צ'ארלס אמיל פיקארד, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.
משפט הקיום והיחידות
יהי $ D $ מלבן סגור המכיל את הנקודה $ (t_{0},y_{0}) $ בפנים שלו. תהי $ f $ פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-$ D $ , המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה $ y $ המוגדרת בקטע פתוח סביב $ t_{0} $ וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית $ y'(t)=f{\bigl (}t,y(t){\bigr )} $ לכל $ t $ בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה $ y(t_{0})=y_{0} $ .
סקירת ההוכחה
הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):
נגדיר $ \varphi _{0}(t)=y_{0} $ וגם $ \varphi _{i}(t)=y_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f{\bigl (}s,\varphi _{i-1}(s){\bigr )}ds $ .
אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של $ \varphi _{i} $ (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.
שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על $ |\varphi (t)-\psi (t)| $ , כאשר $ \varphi ,\psi $ הם שני פתרונות, יראה כי $ \varphi (t)\equiv \psi (t) $ , ולכן הפתרון הוא יחיד.
ראו גם
לקריאה נוספת
- M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)