מטריצות גאמה של דיראק
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות $ \ \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3} $ (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק
- $ \ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0 $
כאשר $ \mu =0,1,2,3 $ ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).
הגדרות
הצגת דיראק
בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:
- $ \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}} $
- $ \gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}} $
כאשר $ \sigma ^{k} $ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.
בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
- $ \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}} $
הצגת וייל
בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:
| $ \ \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}} $ | $ \ \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\quad , $ |
| $ \ \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}} $ | $ \ \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad , $ |
כאשר $ \sigma ^{k} $ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.
בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
- $ \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}-I&0\\0&I\end{pmatrix}} $
בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:
- :$ \psi _{L}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\quad \psi _{R}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I+\gamma ^{5}}{2}}\psi $
הצגת מיורנה
פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי
- $ \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}} $
- $ \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}} $
תכונות
זהויות בסיסיות
- מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
- $ \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4\times 4} $
- כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-$ \eta $ היא מטריקת מינקובסקי $ \ \eta ^{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1) $.
- בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל $ \mu \neq \nu $ מתקיים $ \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu } $
- מכאן נובע ש:
- $ \ (\gamma ^{0})^{2}=I_{4\times 4} $
- $ \ (\gamma ^{k})^{2}=-I_{4\times 4} $ כאשר k=1,2,3.
- ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
- $ \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0} $
- $ \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k} $ כאשר k=1,2,3.
- מטריצת הכיראליות $ \gamma ^{5} $ מקיימת:
- $ \ (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5} $
- $ \ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4\times 4} $
- $ \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\}=0 $, כלומר: $ \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu } $
- מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.
זהויות סכימה
Num Identity 1 $ \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I $ 2 $ \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu } $ 3 $ \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I $ 4 $ \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu } $
זהויות עקבה
Num Identity 1 העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות $ \ \gamma ^{\mu } $ היא אפס. 2 $ \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu } $ 3 $ \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }) $ 4 $ \operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0 $ 5 $ \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma } $
כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:
- ליניאריות: $ \ \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} (A)+\beta \operatorname {tr} (B) $
- ציקליות: $ \ \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA) $
יוצרים של חבורת לורנץ
אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי
- $ \ S^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }] $
ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי
- $ \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{0},\gamma ^{k}]=-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&-\sigma ^{k}\end{pmatrix}}\ $
והסיבובים נתונים על ידי
- $ \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}\Sigma ^{k}\ $
לקריאה נוספת
- Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50
קישורים חיצוניים
- מטריצות גאמה של דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)
מטריצות גאמה של דיראק37409977Q1151645