מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות $\ \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

$\ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0$

כאשר $\mu =0,1,2,3$ ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות

הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}$

$\gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$

כאשר $\sigma ^{k}$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

$\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}$

הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

$\ \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\ \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\quad ,$
$\ \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\ \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad ,$

כאשר $\sigma ^{k}$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

$\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}-I&0\\0&I\end{pmatrix}}$

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

:$\psi _{L}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\quad \psi _{R}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I+\gamma ^{5}}{2}}\psi$

הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}$

$\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$

תכונות

זהויות בסיסיות

• מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:

  $\ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4\times 4}$

כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו-$\eta$ היא מטריקת מינקובסקי $\ \eta ^{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)$.

בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל $\mu \neq \nu$ מתקיים $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }$

• מכאן נובע ש:
  • $\ (\gamma ^{0})^{2}=I_{4\times 4}$
  • $\ (\gamma ^{k})^{2}=-I_{4\times 4}$ כאשר k=1,2,3.
• ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
  • $\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}$
  • $\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}$ כאשר k=1,2,3.

• מטריצת הכיראליות $\gamma ^{5}$ מקיימת:
  • $\ (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}$
  • $\ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4\times 4}$
  • $\ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\}=0$, כלומר: $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }$
• מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה

Num	Identity
1	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$
2	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
4	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

זהויות עקבה

Num	Identity
1	העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות $\ \gamma ^{\mu }$ היא אפס.
2	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }$
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
4	$\operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

• ליניאריות: $\ \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} (A)+\beta \operatorname {tr} (B)$
• ציקליות: $\ \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)$

יוצרים של חבורת לורנץ

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

$\ S^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

$\ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{0},\gamma ^{k}]=-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&-\sigma ^{k}\end{pmatrix}}\$

והסיבובים נתונים על ידי

$\ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}\Sigma ^{k}\$

לקריאה נוספת

• Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50

קישורים חיצוניים

• מטריצות גאמה של דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצות גאמה של דיראק37409977Q1151645