משוואות רנקין-הוגוניו

התמונה ממערכת הייחוס של גל ההלם.

משוואות רנקין-הוגוניו, שנקראות גם תנאי הקפיצה של רנקין-הוגוניו או יחסי רנקין-הוגוניו, מתארות את הקשרים המתמטיים בין המצבים הפיזיקליים משני צידיה של חזית גל הלם בזרימה חד ממדית של זורם. שמן ניתן להם כהוקרה לתרומות של המהנדס והפיזיקאי הסקוטי ויליאם ג'ון מקורן רנקין והמהנדס הצרפתי פייר הנרי הוגוניו. הן מתבססות מבחינה רעיונית על משוואות אוילר ממכניקת הזורמים.

משוואת רנקין הוגוניו הן מערכת של שלוש משוואות המייצגות שימור מסה (משוואת רצף), שימור תנע ושימור אנרגיה בהתאמה. ניתן לגזור אותן באמצעות הרעיון של מעבר למערכת הייחוס של חזית גל ההלם, כלומר מעבר למערכת קואורדינטות שנעה ביחד עם גל ההלם, ובה החזית נראית כנייחת ואילו הזורם שלפני גל ההלם (שאינו "יודע" עליה) נע לעברה במהירות התקדמות ההלם $u_{s}$, בעוד הזורם שמאחורי החזית נע במהירות $u_{s}-u_{2}$ החוצה מגל ההלם, כאשר $u_{2}$ היא המהירות שהזורם מקבל כשגל ההלם פוגע בו.

כאשר $\rho _{s},\rho _{1}$ הן צפיפויות הזורם מאחורי החזית (האזור הדחוס) ולפניה, ו-$e_{1},e_{2}$ הן האנרגיות הפנימיות הסגוליות בשני האזורים, שלוש המשוואות הן:

שימור מסה $\rho _{1}u_{s}=\rho _{s}(u_{s}-u_{2})$

שימור תנע $p_{2}-p_{1}=\rho _{1}u_{s}u_{2}=\rho _{s}u_{2}(u_{s}-u_{2})$

שימור אנרגיה $p_{2}u_{2}=\rho _{1}u_{s}({\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+e_{2}-e_{1})$

המשוואה האחרונה מתקבלת מכך ששטף האנרגיה העובר אל הזורם הנייח בחזית גל ההלם שווה לקצב ספיחת המסה על ידי החזית כפול שינוי האנרגיה הסגולית, ששווה לשינוי האנרגיה הקינטית ועוד שינוי האנרגיה הפנימית.

מבט ראשון במשוואות מצביע כי לכאורה ניתן למצוא את כל מאפייני ההלם (מהירויות וצפיפויות) כבר מן השתיים הראשונות, שכן אם הגז נדחס אדיאבטית אז קיים קשר ישיר בין הלחץ וצפיפות הגז. אולם, מבט מעמיק יותר מגלה כי ההנחה שהאוויר נדחס אדיאבטית בחזית ההלם מוטעית מיסודה, שכן כל המשוואות המקושרות לתהליכים אדיאבטיים מניחות שהדחיסה נעשית "באיטיות", כך שהטמפרטורה מספיקה להגיע לאחידות בתוך כלי הקיבול בכל פסיעת דחס. בפועל, בחזית גל ההלם המצב הוא הפוך; הדחיסה היא מהירה ביותר ורחוקה מלהיות אדיאבטית. על כן יש צורך בשלוש המשוואות כדי לתאר מתמטית את גל ההלם, והן משלימות זו את זו.

היסטוריה

ההיסטוריה של התפתחות התאוריה של גלי הלם שזורה בהתפתחות היסודות המתמטיים של מדעי התרמודינמיקה ומכניקת הזורמים, והיא רוויה טעויות רבות שנבעו מהיעדר בסיס מדעי מוצק לתיאור תופעות מתחומים אלו. שמות גדולים רבים, ובהם ניוטון, אוילר, לפלס, פואסון, סטוקס, ריילי, רימן ואחרים, תרמו ישירות או בעקיפין להתפתחות התאוריה. התרומות שלהם היו לרוב בעלי סתירות פנימיות מסוימות, או שהניחו הנחות אד הוק מסוימות שלא כללו את הקשת המלאה של המצבים הפיזיקליים האפשריים. המצב הזה לא נפתר עד לעבודתם של רנקין והוגוניו, שסיפקה תיאור מלא לתופעות הקשורות במעבר גל הלם במקרה החד-ממדי.

הראשון שניסה לתקוף את הבעיה של מעבר גלי קול בחומר היה ניוטון בכרך השני של ספרו המפורסם "פרינקיפיה", בו גזר את הביטוי (השגוי) $C_{s}={\sqrt {P_{0}/\rho _{0}}}$ למהירות הקול בגז, כאשר $P_{0}$ הלחץ של הגז ו-$\rho _{0}$ צפיפות הגז. הפיתוח של ניוטון הניח שאמפליטודת גל הקול היא אינפיניטסימלית, כך שמותר להניח שהלחץ וצפיפות הגז במעבר גל הקול קבועים בסדר ראשון. בנוסף, הפיתוח של ניוטון הניח הנחה מוטעית שטמפרטורת הגז קבועה במהלך מעבר גל הקול, הנחה שנבעה מהיעדר הבנה נכונה של התהליך התרמודינמי שהגז עובר. מאוחר יותר, לפלס תיקן את פיתוחו של ניוטון והצביע על שגיאה: גל דחיסה בגז חייב תמיד להתבטא תמיד בשינוי קל של הטמפרטורה של הגז, והגיע לביטוי הנכון $C_{s}={\sqrt {\frac {\gamma P_{0}}{\rho _{0}}}}$ כאשר $\gamma$ הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע לקיבול החום בנפח קבוע.

במקביל, ענף מכניקת הזורמים התקדם בצעדים גדולים עם ההצגה של משוואות אוילר בידי המתמטיקאי והפיזיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, שמטפלות בזורמים בהיעדר צמיגות, ועשו סינתזה בין תוצאות קודמות בתחום, כגון משוואת ברנולי. משוואות אוילר מספקות תיאור מתמטי מלא לזרימה לא-ערבולית ולא צמיגה. ב-1788, המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי ז'וזף לואי לגראנז' הציג את הרעיונות של זרימה פוטנציאלית ופוטנציאל מהירות, שיצרו מסגרת קונספטואלית מעמיקה יותר לתיאור שדות זרימה. פוטנציאל המהירות מתאר את שדה הזרימה כנגזרת של פונקציית פוטנציאל. הגישה הזו שוכללה מאוחר יותר על ידי פואסון, סטוקס ואחרים.

ברנהרד רימן חקר את ההתקדמות של גלי קול עם אמפליטודה סופית (לא אינפיניטסימלית) במאמר שפורסם ב-1860. מוקדם במאמר, רימן מציג את מה שכיום נקרא משתני רימן (Riemann variables) שאותם הוא מסמן r ו-s. בעבור גז אינזטרופי הוא כותב את המשוואות השלטות כ-:

${\sqrt {\phi '(\rho )}}+u={\frac {k+1}{2}}r+{\frac {k-3}{2}}s$

${\sqrt {\phi '(\rho )}}-u={\frac {k-3}{2}}r+{\frac {k+1}{2}}s$

כאשר $\phi '(\rho )=dP/d\rho =a^{2}$, כש-a מהירות הקול ו-k הוא יחס קיבולי החום. רימן גזר במאמר את משוואות שימור המסה ושימור התנע בחזית גל ההלם, ולאחר מכן נתן חסמים למהירות של גל הלם. רימן הראה במאמר שהפרעה כיוונית (שינוי במהירות הגז) בתכונות של התווך מתפצלת לשני גלים שנעים בכיוונים הפוכים, כאשר הגל העורפי (rarefaction wave) מתעבה בעוד גל הדחיסה החזיתי (condensation wave) נעשה דק יותר. לאחר מכן, רימן מציג במאמר את הבעיה שנקראת היום בעיית רימן - תיאור מלא של תבניות הגלים שנוצרות במעבר גל הלם. בעיית רימן נוגעת באופי האונטולוגי של גלי הלם, ובלבה עומד הניסיון לטפל גם בשינוי מהירות הקול בתווך עקב שינוי דרסטי במאפייניו (צפיפות ולחץ). היא רלוונטית במיוחד לבעיות של זרימה על קולית.

באופן אירוני מאוד, רימן הניח שהתהליך התרמודינמי שהגז בגבול גל ההלם עובר הוא אדיאבטי ומשמר אנטרופיה, ובכך לא הבין את האופי האמיתי של המעבר בגבול גל ההלם. זה לא היה עד לעבודתם של רנקין ומאוחר יותר הוגוניו שתאוריה עקבית פותחה. רנקין היה ראשון להראות שבתוך הלם תהליך לא אדיאבטי חייב לקרות. הוגוניו הראה שבהיעדר צמיגות והולכת חום שימור האנרגיה פירושו שימור האנטרופיה באזורים חלקים (משתני זרימה רציפים) וקפיצה באנטרופיה משני צידיה של חזית גל הלם.

רקע: משוואות אוילר במימד אחד

נניח כי נתון גז בכלי קיבול חד ממדי (למשל צינור ארוך). נניח שהזורם לא צמיג (אין אפקטים של חיכוך בין שכבות הגז), ובנוסף, נניח כי אין מעבר חום החוצה על ידי הסעה או קרינה, ושתאוצת הכבידה ניתנת להזנחה. מערכת כזאת ניתנת לתיאור מתמטי באמצעות המערכת הבאה של חוקי שימור, הידועות כמשוואות אוילר החד ממדיות:

$(\;1)\quad \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\;=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u\right)$

$(\;2)\quad \quad {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u)\,=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u^{2}+p\right)$

$(\;3)\quad \quad {\frac {\partial }{\partial t}}(E^{t})=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(E^{t}+p\right)\right],$

כאשר:

• צפיפות המסה של הזורם ($kg/m^{3}$) = $\rho$.
• מהירות הזורם $(m/s)$ = $u$.
• אנרגיה פנימית סגולית של הזורם $J/kg$) = $e$)
• לחץ הזורם ($Pa$) = $p$
• זמן = $t$
• מרחק (m) = $x$
• ו-$E^{t}=\rho e+\rho {\frac {1}{2}}u^{2}$ הוא צפיפות האנרגיה הנפחית הכוללת של הזורם, בעוד e הוא האנרגיה הפנימית הסגולית שלו.

בעבור זורם המהווה גז אידאלי, הגז נדחס ומתפשט אדיאבטית כאשר הוא עובר בין אזורים בלחץ שונה, וצפיפות הגז מקיימת את הקשר:

$\quad \quad {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\text{constant}}.$

כאשר $\gamma$ הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע לקיבול החום בנפח קבוע. כמו כן הלחץ והצפיפות קשורים זה לזה בקשר:

$\quad \quad p=\left(\gamma -1\right)\rho e$

מהירות התקדמות גל הלם בגז

משלושת משוואות אוילר:

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}=\rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}$

$\quad \quad \rho _{1}u_{1}\left(e_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}+p_{1}/\rho _{1}\right)=\rho _{2}u_{2}\left(e_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+p_{2}/\rho _{2}\right).$

ניתן לגזור קשר יסודי בין צפיפות הגז $\rho _{1}$ לפני ההלם והלחצים מלפנים ומאחורי ההלם $p_{2},p_{1}$ לצפיפות הגז אחרי ההלם $\rho _{2}$. ניתן לחלץ את מהירות התקדמות ההלם $u_{1}$ והמהירות $u_{2}$ שאלמנט גז מקבל כאשר ההלם חולף עליו משתי המשוואות הראשונות, ולקבל תוצאות שתלויות ב-$p_{2},p_{1},\rho _{2},\rho _{1}$. הצבה במשוואה השלישית ופישוט אלגברי נותנת:

$\quad \quad 2\left(h_{2}-h_{1}\right)=\left(p_{2}-p_{1}\right)\cdot \left({\frac {1}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{\rho _{2}}}\right)$

כאשר $h={\frac {p}{\rho }}+e$ מייצג את האנתלפיה הסגולית של אלמנט גז. אם מציבים $e={\frac {p}{(\gamma -1)\rho }}$ במשוואה האחרונה, אז לאחר פישוט אלגברי ארוך מקבלים את הקשרים הבאים בין יחס הצפיפויות ליחס הלחצים:

$\quad \quad {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {{\frac {p_{2}}{p_{1}}}(\gamma +1)+(\gamma -1)}{(\gamma +1)+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}(\gamma -1)}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}$

$\quad \quad {\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}(\gamma +1)-(\gamma -1)}{(\gamma +1)-{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}(\gamma -1)}}.$

בנוסף, כאשר מחלצים את $u_{2}$ ממשוואות 1 ו-2, מתקבלת התוצאה:

$u_{2}={\sqrt {(p_{2}-p_{1})({\frac {1}{\rho _{1}}}-{\frac {1}{\rho _{2}}})}}$

ובאמצעות הצבת הקשר בין יחס הצפיפויות ליחס הלחצים, התוצאה המתקבלת למהירות התקדמות גל ההלם בגז היא:

$\quad \quad u_{s}=u_{2}+c_{1}{\sqrt {1+{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}-1\right)}}$

כאשר $c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}$ היא מהירות הקול בגז לפני מעבר גל ההלם.

שים לב שמהמשוואה ליחס הצפיפויות עולה כי קיים חסם עליון על יחס הצפיפויות כך ש-$\rho _{2}/\rho _{1}<(\gamma +1)/(\gamma -1)\,$. כשהעוצמה של ההלם עולה, יחס הצפיפויות $\rho _{2}/\rho _{1}$ שואף לגבול סופי. תוצאה זו ישימה בעבור גלי הלם חזקים במיוחד, כמו אלה הנוצרים בעת פיצוץ אטומי, בהם הלחץ של הגז לפני ההלם זניח בהשוואה ללחץ הגז מאחורי ההלם, ואילו יחס הצפיפויות משתווה (כמעט) לערכו המרבי. מכיוון שבנוגע לאוויר, שמורכב בעיקר ממולקולות דו-אטומיות, $\gamma ={\frac {7}{5}}=1.4$, ניתן לקבל את התוצאה הבאה למהירות הזרימה הרדיאלית של האוויר בחזית ההלם (מעטפת הפיצוץ) של פיצוץ מהסוג הזה:

$u_{2}={\sqrt {(p_{2}-p_{1})({\frac {1}{\rho _{1}}}-{\frac {1}{\rho _{2}}})}}\approx {\sqrt {(p_{2})({\frac {1}{\rho _{1}}}-{\frac {\gamma -1}{\rho _{1}(\gamma +1)}})}}={\sqrt {(p_{2})({\frac {1}{\rho _{1}}}-{\frac {2/5}{\rho _{1}12/5}})}}={\sqrt {\frac {5p_{2}}{6\rho _{1}}}}$

הלם הוגוניו וקו ריילי במוצקים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

עקום הוגוניו וקו ריילי במישור P-V. העקום מייצג גרף של משוואת הוגוניו למוצקים כאשר p1, v1, c0, ו- s ידועים. אם 0 = p1, כלומר הלחץ בו נתון המוצק יהיה אפס, העקום יפגוש את ציר הנפח הסגולי בנקודה v1, כלומר לצפיפות המוצק יש חסם תחתון והוא הצפיפות הטבעית שלו.

בעבור גלי הלם במוצקים, פתרון מתמטי סגור למהירות התקדמות ההלם כמו זה שהובא קודם אינו ניתן לגזירה מעקרונות יסודיים. אף על פי כן, תצפיות ניסוייות מצביעות על כך שניתן להיעזר בקשר לינארי בין המהירות של אלמנט מוצק בחזית ההלם ומהירות התקדמות הגל, ויש לו הצורה:

$\qquad u_{s}=c_{0}+s\,u_{p}=c_{0}+s\,u_{2}$

כאשר $c_{0}$ היא מהירות הקול בחומר ו- s הוא קבוע. בקשר הזה, כאשר הוא משולב עם משוואות הוגוניו לשימור מסה ושימור תנע, ניתן להשתמש כדי לקבוע עקום של מצבים אפשריים במישור $P-V$ (כאשר V הוא הנפח ליחידת מסה, או ההופכי של הצפיפות), הנקרא עקום ההלם של הוגוניו, הנתון במשוואה הבאה:

$\qquad p_{2}-p_{1}={\frac {c_{0}^{2}\,\rho _{1}\,\rho _{2}\,(\rho _{2}-\rho _{1})}{[\rho _{2}-s(\rho _{2}-\rho _{1})]^{2}}}={\frac {c_{0}^{2}\,(v_{1}-v_{2})}{[v_{1}-s(v_{1}-v_{2})]^{2}}}\,.$

עקום הוגוניו מתאר את אוסף כל המצבים התרמודינמיים שחומר מוצק יכול להימצא בהם מאחורי החזית של גל הלם. אף על פי כן, הנקודות על עקום הוגוניו מתארות מצבים סופיים בלבד, ואינן מעידות על המסלול המדויק במישור הפאזות אותו החומר עבר במהלך הטרנספורמציה שלו.

ראו גם

• משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)
• גל הדף