משוואות קושי-רימן

באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי־רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת. בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות $\ u(x,y),v(x,y)$ הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז $\,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ היא פונקציה אנליטית. תנאי זה לאנליטיות של $\ f$ נקרא תנאי קושי־רימן.

ניסוח פורמלי

תהי $\ f(z)=f(x+iy)$ פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)} .

משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1) \quad \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad ,(2) \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}

תנאי קושי־רימן

תנאי קושי־רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:

פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) } גזירה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z_0=x_0 + iy_0} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u(x,y),v(x,y)} דיפרנציאביליות בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z_0=(x_0,y_0)} ומשוואות (1) ו־(2) לעיל מתקיימות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x_0,y_0)} .

משוואות (1) ו־(2) לעיל נובעות למעשה, ממשוואת קושי־רימן ההומוגנית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0}

כך שאם נציב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u,v} במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות. ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי־רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(z) = e^{\frac {1}{z}}} .

כמו כן, אם נשתמש בקשרים $\ x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})$ ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\partial f}{\partial \bar{z}} = 0} , שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה. כלומר אם הנגזרת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar z} מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אנליטית אך ורק בנקודות אלה. בנוסף, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f=u+iv} אנליטית, אז גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g=-v+iu} אנליטית. נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x,y} אנו יכולים להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}) \quad,\quad \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y})}

ובדרך זו אנו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 4\frac{\partial ^2}{\partial z \partial\bar{z}}=\Delta}

כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי־רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.

ממשוואות קושי־רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות $\ u,v$ הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u,v} מתאפסת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla u \cdot \nabla v = u_x v_x + u_y v_y = - u_x u_y + u_y u_x = 0 }

מהוכחת משוואות קושי־רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה. בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי־רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה. ביטוי אחד לנגזרת הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(z)=u_x+iv_x} .

כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי־רימן את הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , שתיקרא ההרמונית הצמודה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u,v} .

הוכחה

הוכחת הכרחיות

נוכיח כי אם פונקציה מרוכבת גזירה, אז היא מקיימת את משוואות קושי רימן.

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)} גזירה בנקודה $\ z_{0}$. אז מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(z)=\lim_{\Delta z\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}} לכל כיוון שבו נבחר להשאיף את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Delta z} לנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z_0} .

בפרט יתקיים השוויון אם נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Delta z=\Delta x} , כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(z)=\lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}= }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rarr 0}i\frac{v(x_0+\Delta x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x}= u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0) }

כלומר קיבלנו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}}

כמו כן יתקיים השוויון אם נבחר $\ \Delta z=i\Delta y$, כלומר אנו נעים כאשר קוארדינטת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} שלנו קבועה. כלומר מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(z)=\lim_{\Delta y\rarr 0}\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}= }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \lim_{\Delta y\rarr 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y}+\lim_{\Delta y\rarr 0}i\frac{v(x_0,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y}= -iu_y(x_0,y_0)+v_y(x_0,y_0) }

כלומר קיבלנו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(z)=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}}

נשווה את שתי התוצאות שקיבלנו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}}

מהשוואת החלק הממשי נקבל את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}} .

מהשוואת החלק המדומה נקבל את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}} .

לקריאה נוספת

• Ablowitz M. J. & Fokas A. S., Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 1997

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0