מרחב CAT(0)
במתמטיקה, מרחב CAT(0) הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0). למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.
ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.
הגדרה
משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי $ \ {\mbox{CAT}}(0) $", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.
כל מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $, עם k שלילי, הוא $ \ {\mbox{CAT}}(0) $; וכל מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ הוא מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(k) $ לכל k חיובי.
מרחבי הדמר
מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ שלם נקרא מרחב הדמר. התכונה הבולטת של מרחבי הדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם $ \ \gamma _{1},\gamma _{2}:[a,b]\rightarrow X $ הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה $ \ f(t)=d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t)) $ קמורה כפונקציה של t. (ראו גם משפט קרטן-הדמר).
תכונות
לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k.
מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות.
מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי $ \ \mathbb {R} ^{2} $ (עם המטריקה הרגילה).
חבורות CAT(0)
חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת $ \ {\mbox{CAT}}(0) $". חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה פתירה של חבורת $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ היא דמוית-$ \ \mathbb {Z} ^{n} $.
מכפלה ישרה של חבורות $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ היא חבורת $ \ {\mbox{CAT}}(0) $. מכפלה חופשית של שתי חבורות $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-$ \ \mathbb {Z} $, היא $ \ {\mbox{CAT}}(0) $. הרחבת HNN של חבורת $ \ {\mbox{CAT}}(0) $ ביחס לחבורה סופית, היא $ \ {\mbox{CAT}}(0) $.
חבורות קוקסטר הן $ \ {\mbox{CAT}}(0) $.
ראו גם
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] מרחב CAT(0)25866901