ממד קרול

במתמטיקה, ממד קרול הוא שמם המשותף של כמה ממדים של חוגים, המתלכדים עבור חוג נתרי קומוטטיבי. ממדים אלו קרויים על שמו של וולפגנג קרול, שפיתח את ממד קרול הקטן.

ממד קרול הקטן הוא המספר המקסימלי של הכלות בשרשרת עולה של אידאלים ראשוניים. באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, ממד זה של חוג הפונקציות על יריעה מספק הגדרה אלגברית לממד הגאומטרי שלה. לכל אלגברה אפינית קומוטטיבית יש ממד סופי, וחוגים בעלי ממד סופי חולקים עם האלגברות האפיניות כמה תכונות חשובות. לחוג ארטיני קומוטטיבי יש ממד אפס.

ממד קרול הקטן

נניח כי R הוא חוג, וכי $\,P_{0},P_{1},\dots ,P_{n}$ הם אידאלים ראשוניים ב-R, כך ש$\,P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \dots \subsetneq P_{n}$. אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך n. ממד קרול הקטן של R הוא החסם העליון של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים, והוא סופי או שווה לאינסוף. מסמנים אותו ב-$\ \operatorname {k-dim} (R)$.

לדוגמה, האידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים $\,\mathbb {Z}$ הם אידאלים ראשיים מהצורה $p\mathbb {Z}$ כאשר p מספר ראשוני, וכן אידאל האפס. כמו כן, ב-$\,\mathbb {Z}$ אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת $\,(0)\subsetneq p\mathbb {Z}$. לפיכך ממד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1. בדומה לזה, ממד קרול של כל תחום ראשי הוא 1. האידאל הראשוני היחיד בשדה הוא אידאל האפס, לכן ממד קרול של כל שדה הוא 0.

לכל אידאל ראשוני בחוג PI נתרי יש גובה סופי (אך ממד קרול הקטן של חוג כזה עשוי להיות אינסופי).

במקרה הכללי $\ k\dim R+1\leq k\dim R[x]\leq 2k\dim R+1$, ואלו החסמים הטובים ביותר האפשריים על הממד של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R. לעומת זאת אם R הוא חוג נתרי מממד k, אז ממד קרול הקטן של $\,R[x]$ הוא בדיוק k+1. בהמשך לזה, אם K שדה, אז ממד קרול של החוג $\,K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ הוא בדיוק n.

ממד קרול הקלאסי

ממד קרול הקלאסי עדין יותר. נאמר שאידאלים מקסימליים הם בעלי עומק 0, ושלאידאל ראשוני P יש עומק $\ \alpha$ (כאשר $\ \alpha$ סודר) אם לכל ראשוני המכיל ממש את P יש עומק קטן מ-$\ \alpha$. ממד קרול הקלאסי הוא הסודר המינימלי המהווה עומק של כל הראשוניים בחוג. מסמנים אותו $\ \operatorname {cl-K-dim} (R)$. לחוג יש ממד קרול קלאסי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידאלים ראשוניים.

ממד קרול

ממד קרול (סתמי) מוגדר עבור מודולים מעל חוג R. למודול האפס ממד 1-. ממד קרול $\ \operatorname {Kdim} (M)$ שווה לסודר $\ \alpha$ אם הוא אינו קטן מ-$\ \alpha$, ואם לכל שרשרת יורדת $\cdots <M_{1}<M_{0}=M$, ממקום מסוים ואילך, $\ \operatorname {Kdim} (M_{i-1}/M_{i})<\alpha$. בפרט, למודול (שאינו אפס) יש ממד 0 אם ורק אם הוא ארטיני; למודול (שאינו ארטיני) יש ממד 1 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות ארטיניות החל ממקום כלשהו, למודול יש ממד 2 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות הן מממד 1 או 0 החל ממקום כלשהו.

למודול נתרי יש ממד קרול (אבל לא לכל מודול). ממד קרול של החוג R הוא הממד שלו כמודול מעל עצמו, אם הוא קיים. בפרט, לכל חוג נתרי יש ממד קרול. כל סודר יכול להיות ממד קרול של חוג נתרי קומוטטיבי, וממד קרול של תחום ראשי שמאלי.

אם לחוג $\ R[x]$ יש ממד קרול, אז R מוכרח להיות נתרי; ולכל R נתרי, $\ \operatorname {Kdim} (R[x])=\operatorname {Kdim} (R)+1$.

כל חוג בעל ממד קרול מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידאלים ראשוניים. בחוג שיש לו ממד קרול, כל אידאל מכיל מכפלה של מספר סופי של ראשוניים (זוהי תכונה חשובה של חוגים נתריים). בחוג שיש לו ממד קרול מתקיים אי-השוויון $\ k\dim(R)\leq \operatorname {cl-K-dim} (R)\leq \operatorname {Kdim} (R)$. בחוג קומוטטיבי מתלכדים ממד קרול וממד קרול הקלאסי, ואם הממד סופי (והחוג קומוטטיבי) הם שווים גם לממד קרול הקטן.

לחוג שיש לו ממד קרול יש ממד יוניפורמי סופי; חוג חוג ראשוני למחצה שיש לו ממד קרול (שמאלי) הוא חוג גולדי (שמאלי).

הערות ודוגמות

• ממד קרול אינו גדל תחת תמונות הומומורפיות.
• בחוגים קומוטטיביים (ובכלל, בחוגים עם זהויות) בהרחבה שלמה נשמר ממד קרול. לדוגמה, בתורת המספרים האלגברית משתמשים בכך שחוגי שלמים הם בעלי ממד קרול 1; הדבר נובע לכן ישירות מהגדרתם כהרחבות שלמות של חוג השלמים, שמימדו 1.
• Arnold הראה שקיימים חוגים קומוטטיביים מממד קרול סופי, שחוג טורי החזקות מעליהם (במשתנה אחד) אינו מקיים את תנאי השרשרת העולה על ראשוניים. יתרה מזאת, הוא הראה שאם חוג טורי החזקות הוא בעל ממד קרול סופי אז חוג הבסיס מקיים את תנאי הסופיות SFT: לכל אידאל, יש תת-אידאל נוצר סופית כך שחזקות חסומות של אברי האידאל הרחב שייכות לאותו אידאל הנוצר סופית.
• Bergman שאל האם באלגברה אפינית ממד גלפנד קירילוב חוסם את ממד קרול. Bell הראה שהדבר אינו נכון: יש אלגברות אפיניות מממד גלפנד קירילוב 2 וממד קרול שרירותי, לרבות אלגברה כזו שאינה מקיימת את תנאי השרשרת העולה על ראשוניים.

מקורות

• Dimension in Ring Theory, Nastasescu and van Oystaeyen, 1987.
• Krull Dimension, Gordon and Robson, 1973.

ראו גם

• משפט האידאל הראשי