אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

בתורת הקטגוריות, אובייקט התחלתי ואובייקט סופי הם סוג של אובייקטים בקטגוריה שמהווים עצמי קצה מבחינת המורפיזמים שיוצאים מהם ונכנסים לתוכם. באמצעות בניות בסיסיות אלה ניתן להגדיר בניות מורכבות יותר כגון מכפלה של שני עצמים.

הגדרה

תהי ${\mathcal {C}}$ קטגוריה.

אובייקט $I\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ יקרא אובייקט התחלתי (Initial object) אם לכל אובייקט $X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ בקבוצה $\mathrm {Mor} (I,X)$ יש איבר אחד בדיוק. במילים אחרות, לכל אובייקט $X$ : מ- $I$ יוצא מורפיזם יחיד ל- $X$ (כלומר: $f:I\to X$ קיים ויחיד).
אובייקט $F\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ יקרא אובייקט סופי (Final object) אם לכל אובייקט $X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ בקבוצה $\mathrm {Mor} (X,F)$ יש איבר אחד בדיוק. במילים אחרות, לכל אובייקט $X$ : ל- $F$ נכנס מורפיזם יחיד מ- $X$ (כלומר: $g:X\to F$ קיים ויחיד).
אובייקט $Z\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ יקרא אובייקט אפס אם הוא גם אובייקט התחלתי וגם אובייקט סופי.

אובייקט התחלתי מוגדר ביחידות עד כדי איזומורפיזם קנוני. באופן דומה, כך גם אובייקט סופי.

נראה זאת לגבי אובייקט התחלתי: נניח ש- $I_{1}$ ו- $I_{2}$ הם אובייקטים התחלתיים. אזי קיים $f\in \mathrm {Mor} (I_{1},I_{2})$ יחיד כי $I_{1}$ אובייקט התחלתי וקיים $g\in \mathrm {Mor} (I_{2},I_{1})$ יחיד כי $I_{2}$ אובייקט התחלתי. כעת, $g\circ f\in \mathrm {Mor} (I_{1},I_{1})$ אבל $\mathrm {id} _{I_{1}}\in \mathrm {Mor} (I_{1},I_{1})$ ומאחר שהוא יחיד בקבוצה זו $\mathrm {id} _{I_{1}}=g\circ f$ . באופן דומה מוכיחים ש- $f\circ g=\mathrm {id} _{I_{2}}$ ולכן $f$ ו- $g$ הופכיים אחד לשני ומהווים איזומורפיזמים כך ש- $I_{1}\cong I_{2}$ .

דוגמאות

בקטגוריית הקבוצות ${\mathcal {C}}=\mathbf {Sets}$ האובייקט ההתחלתי הוא הקבוצה הריקה (בשל קיומה של הפונקציה הריקה), ואילו כל יחידון הוא אובייקט סופי (שכן לכל קבוצה $X$ ישנה העתקה יחידה $X\to \{a\}$ וזו הפונקציה השולחת כל איבר מ- $X$ ל- $a$ ).
בקטגוריית החבורות ${\mathcal {C}}=\mathbf {Grps}$ החבורה הטריוויאלית $\{e\}$ (כלומר: החבורה שמורכבת רק מאיבר היחידה) היא אובייקט התחלתי (שכן הומומורפיזם של חבורות שולח יחידה ליחידה) ואובייקט סופי, ולכן אובייקט אפס.

בעזרת אובייקטים התחלתיים אפשר להגדיר אובייקטים בניות נוספים, למשל מכפלה. מכפלה $A\times B$ של עצמים $A,B\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})$ היא אובייקט סופי בקטגוריה

{\mathcal {C}}_{A,B}=\left\{(P,\alpha :P\to A,\beta :P\to B)\ |\ P\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}}),\alpha \in \mathrm {Mor} (P,A),\beta \in \mathrm {Mor} (P,B)\right\}

של שלשות סדורות המורכבות מעצם $P$ ושני מורפיזמים ל- $A$ ו- $B$ . כלומר, אם $A\times B=(P,\alpha :P\to A,\beta :P\to B)$ , אזי לכל עצם $D$ עם מורפיזמים $\alpha ':D\to A$ ו- $\beta ':D\to B$ קיים מורפיזם יחיד $f:D\to P$ כך ש- $\alpha '=\alpha \circ f$ ו- $\beta '=\beta \circ f$ .