קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה וכי $ \,\{X_{j}|j\in I\} $ היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה $ \,\{X_{i}\} $ היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים $ \,i_{j}:X_{j}\to X $ (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים $ \,f_{j}:X_{j}\to Y $ קיים מורפיזם יחיד $ \,f:X\to Y $ כך שלכל $ \,j\in I $ מתקיים $ f_{j}=f\circ i_{j} $. במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של קו-מכפלה

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה $ {}_{\{X_{j}\}}C=\left\{(Z,\{g_{j}:X_{j}\to Z\})\ |\ \forall i:X,X_{j}\in \mathrm {Ob} (C)\ ,\ g_{j}\in \mathrm {Mor} (Z,X_{j})\right\} $ עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב$ \,X_{1}\coprod X_{2} $, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f₁ ∐ f₂ או f₁ ⊕ f₂ או f₁ + f₂ או [f₁, f₂].

באופן כללי, הקו-מכפלה של $ \,\{X_{j}|j\in I\} $ מסומנת

$ X=\coprod _{j\in I}X_{j} $

ולעיתים

$ X=\bigoplus _{j\in I}X_{j} $.

דוגמאות

• בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים $ i_{A} $ ו-$ i_{B} $ הם פשוט ההכלות (כגון $ A\subset A\uplus B $). בפרט, $ A\coprod B=A\uplus B $, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
• אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם $ A\cap B\neq \emptyset $ לוקחים קבוצה $ B' $ שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד $ A\uplus B' $ עם שיכון $ i_{B'}\circ f $ כאשר $ f:B\to B' $ היא פונקציית שקילות של קבוצות.
• קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת $ G\oplus H $.
• קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת $ V=\bigoplus _{j\in I}V_{j} $ כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל $ j\in I $ האיבר שבא מ-$ V_{j} $ שווה לאפס. למשל: $ v_{1}+v_{2}\in \bigoplus _{n=1}^{\infty }V_{n} $ אך $ 0+0+v_{3}+v_{4}+v_{5}+...=\sum _{n=3}^{\infty }v_{j}\notin \bigoplus _{n=1}^{\infty }V_{n} $.
• בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב $ A\otimes B $ היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים $ a\mapsto a\otimes 1\in A\otimes B $ ו-$ b\mapsto 1\otimes b\in A\otimes B $.

קיום ויחידות

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה $ \,\{X_{j}\} $ קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם $ \,i_{j}:X_{j}\to X $ ו-$ \,i'_{j}:X_{j}\to X' $ הן זוג מכפלות של המשפחה $ \,\{X_{j}\} $ אז קיים איזומורפיזם יחיד $ \,f:X\to X' $ כך ש $ i_{j}'=f\circ i_{j} $.

ראו גם

• מכפלה (תורת הקטגוריות)
• מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)
• גבול ישר (תורת הקטגוריות)
• פונקטור מיוצג
• אובייקט התחלתי ואובייקט סופי