מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית (נקראת גם מטוטלת פשוטה) היא מטוטלת שמורכבת מגוף בעל ממדים קטנים, התלוי על חוט שמסתו ומידת ההתארכות שלו בזמן התנודות ניתנים להזנחה. בנוסף, זווית התנודה של המטוטלת קטנה יחסית. זהו מודל פיזיקלי, שאינו קיים באופן מושלם במציאות, (ולכן המודל מכונה מטוטלת מתמטית), אך בזכות הקירוב ניתן לתאר את תנועת הגוף באופן פשוט. תחת קירוב זה מטוטלת מתמטית היא סוג של אוסצילטור הרמוני, ולכן מהווה מודל לתופעות פיזיקליות רבות.

לאחר הסטת הגוף מנקודת שיווי המשקל ושיחרורו, הגוף יבצע תנודות הרמוניות במישור אנכי סביב נקודת שיווי המשקל-לאורך קשת מעגל. זמן המחזור של תנודות מטוטלת מתמטית אינו תלוי במסת המשקולת ובמשרעת (זווית) התנודות. זוהי תכונה חשובה, שכן היא מאפשרת למדוד מרווחי זמן. בעבר (עד המצאת השעון החשמלי) השתמשו בני האדם בשעון המונע על ידי מטוטלת.

ניתוח מתמטי

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

אנימציה של תנועת מטוטלת, המראה את השתנות וקטורי המהירות (V) והתאוצה (A).

ניתוח הכוחות על מטוטלת מתמטית

ננתח את תנועת המטוטלת, בקירוב בו החוט חסר מסה ואורכו קבוע, מסת המטוטלת נקודתית, וזווית התנודה קטנה. נסמן:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ l} - אורך החוט
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m} - מסת המשקולת
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g} - תאוצת הכובד
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta} - הזווית מהאנך.

ננתח את המומנטים הפועלים על המטוטלת, יחסית לנקודת התלייה. מכיוון שהחוט מחובר לנקודת התלייה, הוא אינו מפעיל מומנט. לכן, המומנט היחיד הפועל על המטוטלת הוא המומנט שמפעיל כוח הכובד, וגודלו $\ -mgl\sin \theta$. (הסימן שלילי כיוון שזהו כוח מחזיר, המנוגד לכיוון ההעתק).

מומנט ההתמד של המערכת הוא פשוט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = ml^2} , ולכן מתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -mgl \sin \theta = ml^2 \ddot \theta } .

(ניתן להגיע לנוסחה זו גם על פי משוואת התנועה, מבלי להיכנס למומנט ההתמד .

הדרך שווה לאורך המטוטלת כפול הזווית (ברדיאנים) הנגזרת השנייה של הדרך שווה לתאוצה ששווה ל-g כפול סינוס הזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -g\sin \theta = l\ddot \theta } )

באמצעות קירוב זוויות קטנות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin \theta \approx \theta } , נקבל משוואה של אוסצילטור הרמוני:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ddot \theta = - \frac{g}{l} \theta }

הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta = \theta_0 \sin (\omega t + \phi)} ,

כאשר $\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$, ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta_0, \phi } נקבעים על ידי תנאי ההתחלה. זוהי פונקציה מחזורית, בתדירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f= \frac{1}{2\pi} \sqrt{ \frac{g}{l}}} , ובזמן מחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}} .

המרחק מנקודת שיווי המשקל הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x= l \theta } (שוב, בקירוב של זוויות קטנות), ולכן גם המרחק מקיים תנודה הרמונית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = x_0 \sin (\omega t + \phi)} .

באופן כללי, ניתן לפתור את המשוואה פתרון אנליטי גם ללא הקירוב של זוויות קטנות, בעזרת אינטגרל אליפטי.

במערכת זו, כאשר $H$ הוא המילטוניאן וכאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=\frac{g}{l}} שרטוט הפאזה יתן הפרדה בין שני אזורים. הפרדה זו נקראת ספרטריקס.

פתרון מדויק

הסטייה של זמן המחזור מזמן המחזור המדויק, תוך קירוב זוויות קטנות. ניתן לראות כי עד לזווית מפתח של 30°, מתקבל דיוק טוב מאוד הקטן מ-2%.

כאמור, ניתן למצוא את זמן המחזור של מטוטלת פשוטה גם ללא ההנחה של זוויות קטנות, אולם פתרון זה אינו אנליטי (כלומר, לא ניתן להציגו כהרכבה של פונקציות אלמנטריות: פולינומים, אקספוננטים ופונקציות טריגונומטריות). הפתרון מערב אינטגרל אליפטי, שאותו יש לחשב באופן נומרי.

משימור אנרגיה מתקבל מיידית כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v=\sqrt{2g\Delta h}} . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Delta h} הוא ההפרש בין גובה המטוטלת לגובהה המקסימלי. אנו יודעים כי $v=l{\frac {d\theta }{dt}}$ ולכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{2g\Delta h}}{l}} .

מצד שני, משיקול גאומטרי ניתן לראות ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Delta h=l(\cos\theta-\cos\theta_0)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta_0} היא הזווית שבה המטוטלת נמצאת בגובהה המקסימלי. מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{2g}{l}(\cos\theta-\cos\theta_0)}} .

זוהי משוואה פרידה, וצריך לבצע את האינטגרל

$\int dt=\int {\frac {d\theta }{\sqrt {{\frac {2g}{l}}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}$.

ניתן לקבל את זמן המחזור על ידי אינטגרציה על רבע מחזור והכפלה ב-4:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=4\int_{\theta_0}^0\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2g}{l}(\cos\theta-\cos\theta_0)}}}

אינטגרל זה אינו פתיר אנליטית, אך ניתן להביעו באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(k,\phi)} האינטגרל האליפטי של לז'נדר מהסוג הראשון, כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=4\sqrt{\frac{l}{g}}F(\sin\frac{\theta_0}{2},\frac{\pi}{2}) } .

הרחבה - ניתוח האופנים העצמיים למטוטלת בעלת N מתנדים צמודים

ערך מורחב – מטוטלות מתמטיות צמודות

מטוטלת בעלת N מתנדים צמודים, היא בעצם מספר מטוטלות הקשורות זו לזו כאשר החוט של הראשונה יוצא מסוף המטוטלת הקודמת. מספר האופנים העצמיים של מטוטלות מתמטיות צמודות, הוא בדיוק כמספר המתנדים הצמודים שבה. האופנים העצמיים מצביעים על אורך פרקי הזמן שבהם המערכת חוזרת לאותו מבנה מרחבי, ללא חשיבות לזווית ביחס לאנך לרצפה, אלא רק לזוויות בתוך המערכת. עם הוספת מתנד צמוד למטוטלת, האופנים העצמיים שלה מתפלגים באופן הבא: מספר האופנים העצמיים של המערכת גדל והפרש הערכים בין אחד למשנהו קטן. בנוסף לכך, הם הולכים ומתבדרים.

ניתוח מתמטי עבור שני מתנדים צמודים

על מנת לחשב את משוואות התנועה עבור מטוטלת בעלת שני גופים, נשתמש במשוואות אוילר-לגראנז'. לפי משוואות אלו:

$\ T={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}$

כאשר: T - האנרגיה הקינטית האצורה במערכת.

U, אנרגיית הגובה האצורה במערכת היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U = -g( R_1 \cos\phi (m_1+m_2)+ m_2 R_2 \cos \psi ) }

פונקציית הלגראנז' L של המערכת היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L = T - U } ; <נחשב עתה את משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi}  : $\ {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}$ לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בכל אגף מתקבלת המשוואה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (I): m_1 R_1^2 \ddot \phi + m_2 R_2^2 \ddot \phi + m_2 R_1 R_2 \ddot \psi \cos (\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \psi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi) } $\ =-m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\phi }}{\dot {\psi }}\sin(\phi -\psi )-gR_{1}\sin \phi (m_{1}+m_{2})$

באותה צורה, מחישוב משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi} מתקבלת המשוואה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (II): m_2 R_2^2 \ddot \psi + m_2 R_1 R_2 \ddot \phi \cos(\phi-\psi)- m_2 R_1 R_2 \dot \phi \sin(\phi-\psi)(\dot \phi - \dot \psi)} $\ =m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\phi }}{\dot {\psi }}\sin(\phi -\psi )-gm_{2}R_{2}\sin \psi$

לאחר קירוב לזווית קטנות וארגון המשוואות, מקבלים מ-(I):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (2,1): R_1 \ddot \phi + \frac{m_2}{m_1 + m_2} R_2 \ddot \psi = -g\phi}

הערה: משמעות הסימונים למשוואות (n,k) הוא: המשוואה ה-k עבור n מתנדים צמודים. מ-(II) מקבלים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (2,2): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi = -g\psi}

ניתוח מתמטי עבור שלושה מתנדים צמודים

מחישוב משוואות אוילר לגראנז' בצורה זהה לזו שפורטה לעיל, קירוב לזוויות קטנות, וארגון המשוואות מתקבלות המשוואה הבאות:

$\ (3,1):R_{1}{\ddot {\phi }}+{\frac {m_{2}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}R_{2}{\ddot {\psi }}+{\frac {m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}R_{3}{\ddot {\theta }}=-g\phi$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (3,2): R_1 \ddot \phi+ R_2 \ddot \psi + \frac {m_3}{m_2+m_3} R_3 \ddot \theta = -g\psi}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (3,3): R_1 \ddot \phi + R_2 \ddot \psi + R_3 \ddot \theta = -g\theta}

הכללה ל-N מתנדים צמודים

בעזרת שש המשוואות שפותחו לעיל, ננסח עתה נוסחה כללית עבור מספר (k) של מתנד במטוטלת בעלת N מתנדים: $\ (N,k)\sum _{i=1}^{K}R_{i}{\ddot {\phi }}_{i}+\sum _{i=k+1}^{N}{\ddot {\phi }}_{i}R_{i}{\frac {\sum _{j=i}^{N}m_{i}}{\sum _{j=k}^{N}m_{i}}}=-g\phi _{k}$

כאשר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi _i} היא הזווית ה-i מלמעלה

הערה: אם k=N האיבר האחרון אינו מופיע, משום שהסכום מ-N+1 עד N הוא סכום ריק.

ראו גם

• לגראנז'יאן
• אוסצילטור הרמוני
• מטוטלת פיזיקלית
• מטוטלת קונית
• מטוטלת פרא-קונית
• מטוטלת פוקו
• שעון מטוטלת

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מטוטלת מתמטית בוויקישיתוף

• יישום ג'אווה המדגים פעולת מטוטלת פשוטה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35605923מטוטלת מתמטית