מטוטלת פוקו

ערך זה עוסק בניסוי פיזיקלי. אם התכוונתם לספרו של אומברטו אקו, ראו המטוטלת של פוקו (ספר).

הנפשה של מטוטלת פוקו המדגימה את סיבוב כדור הארץ על צירו

מטוטלת פוּקוֹ או המטוטלת של פוקו הייתה מרכיב בניסוי שערך לאון פוקו בפריז ובו הדגים באמצעותה שכדור הארץ חג סביב צירו, ואת פעולת כוח קוריוליס – כוח מדומה הנובע מהימצאותנו במערכת מסתובבת, שהיא מערכת לא אינרציאלית.

סיבוב כדור הארץ סביב צירו גורם למישור התנודה של המטוטלת להסתובב באיטיות, במהירות זוויתית ששווה למכפלת מהירות סיבוב כדור הארץ, בסינוס קו הרוחב של המקום בו מתבצע הסיבוב: בקטבים מישור התנודה ישלים סיבוב שלם ב-24 שעות, בפריז תארך ההקפה כ-32 שעות, ואילו בקו המשווה האפקט לא יורגש כלל. בישראל (קו רוחב 32°) המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.

בשנת 1851 ערך פוקו את הניסוי עם המטוטלת בפני הציבור בפנתיאון בפריז כאשר השתמש בכבל אשר אורכו 67 מטרים ואל קצהו מחובר כדור ברזל. על ניסוי זה ועל הגיית הגירוסקופ זכה פוקו לקבל את מדליית קופלי מהחברה המלכותית הבריטית בשנת 1855.

מטוטלות פוקו פזורות ברחבי העולם בעיקר במוזיאונים ובאוניברסיטאות. בישראל ניתן לצפות במטוטלת פוקו במספר מקומות, בהם מדעטק בחיפה, בבניין פרלמן ובגן המדע של מכון ויצמן למדע, בבניין המחלקה לפיזיקה באוניברסיטת בן-גוריון ובמצפה הכוכבים בגבעתיים.

מכיוון שהחיכוך עם האוויר מאט ואף מפסיק את תנועתה של המטוטלת, ישנם מוזיאונים שמוסיפים למטוטלת מנוע אלקטרומגנטי או אמצעי אחר, שמאפשר את המשך התנודה. מקומות אחרים מאתחלים את המטוטלת באופן קבוע לאחר עצירתה, לעיתים במסגרת טקס השקה המשמש כאטרקציה לציבור הרחב. אתגר הנדסי נוסף, הוא יצירת מטוטלת פוקו שתנוע ללא העדפה לכיוון מסוים^[1].

ניתוח מתמטי

כאמור, סיבוב מישור התנודה של המטוטלת מוסבר על ידי כוח קוריוליס. בקירוב אל הזוויות הקטנות, המטוטלת מבצעת תנועה הרמונית במישור האופקי. תחת הקירוב, הכוח המחזיר שמפעילה הכבידה, נתון על ידי

$\ {\vec {F^{g}}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}$ .

זאת כאשר $\ \omega ={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$ היא התדירות הזוויתית של תנודת המטוטלת. על מנת לחשב את השפעת כוח קוריוליס, יש לחשב את ההיטל שלו על המישור האופקי (תחת הקירוב, המטוטלת מוגבלת לתנועה במישור האופקי). כוח קוריוליס נתון על ידי

אנימציה המתארת את תנועת המטוטלת. הקו הירוק מתאר את מסלול המטוטלת על הארץ, והקו הכחול מתאר את תנועת המשקולת במערכת המסתובבת יחד עם סיבוב מישור התנועה.

${\vec {F}}^{c}=-2m{\vec {\Omega }}\times {\dot {\vec {r}}}$

זאת כאשר $\ \Omega$ היא המהירות הזוויתית של כדור הארץ. לשם נוחות, נגדיר כי ציר ה-x מכוון מזרחה, וציר ה-y מכוון צפונה.

את רכיב המהירות הזוויתית $\ \Omega$ יש לפרק למערכת הצירים המקומית שבה עושים את הניסוי. כלומר:

{\boldsymbol {\omega }}=\Omega {\begin{pmatrix}0\\\cos \lambda \\\sin \lambda \end{pmatrix}}\ ,

{\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}v_{e}\\v_{n}\\v_{u}\end{pmatrix}}\ ,

{\boldsymbol {a}}_{C}=-2{\boldsymbol {\omega \times v}}=2\,\Omega \,{\begin{pmatrix}v_{n}\sin \lambda -v_{u}\cos \lambda \\-v_{e}\sin \lambda \\v_{e}\cos \lambda \end{pmatrix}}\ .

כאשר:
$v_{e}$ היא מהירות בכיוון מזרח מקומי
$v_{n}$ היא מהירות בכיוון הצפון המקומי
$v_{u}$ היא מהירות כלפי הקרקע
לאחר שמבצעים את המכפלה הווקטורית בין המהירות הזוויתית של כדור הארץ למהירות המקומית
(הכל במערכת צירים מקומית), מקבלים את הביטוי שרשום ב ${\boldsymbol {a}}_{C}$

כעת מניחים כי המהירות האנכית זניחה (מטוטלת בזויות קטנות), ואת המהירויות הנותרות רושמים כנגזרת של מיקום
${\dfrac {dy}{dt}}=v_{n}$
${\dfrac {dx}{dt}}=v_{e}$

כעת רושמים את הבטוי לכוח בכיוון מזרח וצפון, על ידי מכפלת התאוצות בכיוונים אלה במסת הגוף m

$F_{x}^{c}=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}sin(\lambda )$

$F_{y}^{c}=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}sin(\lambda )$

כאשר $\ \lambda$ הוא קו הרוחב שבו אנו נמצאים. בשקלול עם הכוח המחזיר והחוק השני של ניוטון, נקבל את מערכת המשוואות:

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}sin(\lambda )\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}sin(\lambda )\end{array}}\right.$

זוהי מערכת משוואות מצומדות, והיא קשה לפתרון ישיר. נגדיר משתנה מרוכב חדש $z=x+iy$ , ולאחר הכפלת המשוואה התחתונה ב $\ i$ וחיבור המשוואות, תתקבל המשוואה הפשוטה

$\ {\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega \sin \lambda {\frac {dz}{dt}}+\omega ^{2}z=0$ , שפתרונה הוא

$\ z(t)=e^{i\Omega \sin \lambda t}\cdot e^{\pm i{\sqrt {\omega ^{2}-(\Omega \sin \lambda )^{2}}}t}$

בקירוב $\Omega <<\omega$ מתקבלת התוצאה הסופית:

$\ z=x+iy=e^{i\Omega \sin \lambda t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})$ .

הביטוי בסוגריים מבטא תנועה הרמונית בתדירות $\omega$ , והביטוי $\ e^{i\Omega \sin \lambda t}$ הוא סיבוב מישור התנועה בתדירות $\ \Omega \sin \lambda$ . אם נעבוד ביחידות זמן של ימים, אז $\Omega ={\frac {2\pi }{1_{day}}}=2\pi$ , ונבחין כי מישור התנועה משלים סיבוב שלם כל $T={\frac {2\pi }{\Omega \sin \lambda }}={\frac {1}{\sin \lambda }}$ ימים. בישראל, שבה $\lambda \approx 32^{\circ }$ , המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.