ספרטריקס
במתמטיקה, ספרטריקס הוא כינויו של הגבול המפריד (Separate; ומכאן שמו) בין אזורים של המישור שבהם משוואה דיפרנציאלית בשני משתנים מפגינה התנהגויות שונות. הספרטריקס מפריד בין עקומות פאזה בעלות מאפיינים שונים.
רקע
אם היא משוואה דיפרנציאלית במשתנים תלויי-הזמן , אז התנועה שהמשוואה מגדירה בכל נקודה במישור תלויה במקדמים הראשונים של פיתוח טיילור של ושל . באופן סכימתי אפשר להבחין בין מסלולים "אליפטיים" (סגורים), "היפרבוליים" (פתוחים, המתרחקים במהירות גדלה), ו"פרבוליים" (מצב ביניים). הספרטריקס הוא העקום המישורי המפריד בין ההתנהגות האליפטית להתנהגות ההיפרבולית.
דוגמה
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/Simple_pendulum.he.svg/langhe-250px-Simple_pendulum.he.svg.png)
אחד מהמקרים הפשוטים בהם ניתן להבחין בקיומו של ספרטריקס הוא פתרון משוואת המטוטלת הפשוטה:
כאשר מציין את אורך המטוטלת, את תאוצת הכבידה ו- את הזווית בין המטוטלת לבין האנך. במערכת זו, ההמילטוניאן הוא גודל שמור וגודלו נתון על ידי
משוואה זאת מתארת את התנועה של מטוטלת: כלומר של משקולת התלויה על חוט. למטוטלת כזאת ישנם שני סוגי תנועה: כאשר אין למטוטלת אנרגיה קינטית מספיק גבוהה אזי המטוטלת תבצע תנודות סביב נקודת המינימום שלה. לעומת זאת אם נדחוף את המטוטלת בכח גדול מספיק אזי היא תבצע סיבובים סביב המסמר.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Separatrix_for_a_Simple_Pendulum.png/240px-Separatrix_for_a_Simple_Pendulum.png)
כאשר ההמילטוניאן קבוע, ניתן לשרטט את הפתרון במרחב הפאזה, כלומר לבדוק את התלות בין המהירות הזוויתית של המטוטלת לבין הזווית . אופי המסלול (שהוא הפתרון של המשוואה) תלוי בגודלו של ההמילטוניאן:
- אם העקומה תהיה סגורה. אם קטן מאוד, העקומה תהיה דמוית-מעגל, וכל ש- יגדל בערכו המוחלט כך תימתח העקומה הסגורה לצורה דמוית-עין. עקומות אלו, המייצגות פתרון מסוים של המשוואה הדיפרנציאלית, משמעותן הפיזיקלית היא שהמטוטלת מתנודדת מצד לצד.
- אם אז העקומה פתוחה, כלומר המטוטלת איננה מבצעת תנודות, ובמקום זאת היא נעה במעגלים שלמים.
במערכת זו, אם כן, הספרטריקס מתאים למצב בו . הוא מפריד בין שני אזורים שונים במרחב הפאזה.
קישורים חיצוניים