מונואיד (מבנה אלגברי)

מונואיד (או: יחידון) הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה, פעולה בינארית אסוציאטיבית, ואיבר יחידה. למונואיד חסרה תכונה אחת כדי להפוך לחבורה: התכונה שכל האיברים הפיכים.

יש שני מונואידים (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2, 7 מסדר 3, 35 מסדר 4, 228 מסדר 5 ו-2237 מסדר 6 [1].

דוגמאות

דוגמאות למונואידים:

• קבוצת המספרים הטבעיים, היא מונואיד ביחס לחיבור (כולל 0), ומונואיד ביחס לכפל.
• אוסף המורפיזמים מאובייקט בקטגוריה לעצמו, עם פעולת ההרכבה, הוא מונואיד. למשל:
  • אוסף הפונקציות מקבוצה לעצמה, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
  • אוסף ההומומורפיזמים מחבורה לעצמה, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
  • אוסף ההומומורפיזמים מחוג לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
  • אוסף ההומיאומורפיזמים ממרחב טופולוגי לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא חוג, אז הוא מונואיד ביחס לפעולת הכפל.
• האוסף של מילים סופיות באלפבית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , ביחס לפעולת השרשור (זהו המונואיד החופשי על $X$, ראו חבורה חופשית).

איברים במונואיד

במונואיד, איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא "הפיך מימין" אם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ac=1} (אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} נקרא "הפכי מימין" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ), ו"הפיך משמאל" אם קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ba=1} (אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} "הפכי משמאל" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ). ייתכנו במונואיד איברים שהם הפיכים מימין אבל לא משמאל, או להפך. ההפכי מימין אינו בהכרח יחיד, וכן להפכי משמאל. לעומת זאת, איבר שהוא גם הפיך מימין וגם הפיך משמאל מוכרח להיות הפיך (כלומר, קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ad=da=1} ), ואז יש לו הפכי יחיד מימין השווה להפכי היחיד משמאל; איבר זה נקרא ה'הפכי' של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ומסומן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{-1}} . מונואיד שבו כל האיברים הפיכים נקרא חבורה.

מבנים במונואיד

במונואיד אפשר להגדיר תת-מונואיד בדומה לתת-חבורה של חבורה: תת-קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} , המכילה את איבר היחידה, מהווה תת-מונואיד אם היא סגורה לכפל (כלומר, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b \in S} גם $ab\in S$). אוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה תת-מונואיד, שהוא גם חבורה (זו נקראת 'חבורת ההפיכים במונואיד'). בדומה להגדרה בחוגים, אפשר להגדיר במונואיד אידיאל (ימני, שמאלי, או דו-צדדי), וגם 'מונואיד מנה' ביחס לאידיאל. האידיאל המינימלי של מונואיד קומוטטיבי (כלומר, חיתוך כל האידיאלים של המונואיד), הוא חבורה.

מונואידים עם צמצום

הסרת האקסיומה על קיום הפכיים גורמת לכך שהמבנה של מונואידים הרבה יותר מסועף מזה של חבורות. לשם המחשה, ישנם 2237 מונואידים שונים בעלי שישה איברים (ורק שתי חבורות מסדר זה). באמצע הדרך בין המונואידים הכלליים לבין החבורות עומדים מונואידים עם צמצום: כאלה שבהם מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax=ay} נובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y} (זהו "צמצום משמאל"), ומ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xa=ya} נובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y} (צמצום מימין). לדוגמה, כל מונואיד המוכל בחבורה מקיים את תכונת הצמצום.

השיכון ההדוק ביותר הוא ב"חבורת שברים", היינו כזו שכל איבר שלה הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{-1}b} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} שייכים למונואיד; שיכון כזה קיים אם ורק אם המונואיד מקיים את תנאי אור (Ore's condition): לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} יש איברים $x,y$ כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xa=yb} . מונואיד עם צמצום המקיים איזושהי זהות (כגון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1x_2x_2x_1x_2x_2=x_2x_2x_1x_2x_2x_1} , ובפרט: כל מונואיד קומוטטיבי עם צמצום), או שיש לו גידול תת-אקספוננציאלי, מקיים את תנאי אור.

באופן כללי, השאלה האם מונואיד עם צמצום הנתון לפי הצגה סופית שלו ניתן לשיכון בחבורה, אינה כריעה. עבור מונואידים סופיים התשובה תמיד חיובית (די להניח צמצום משמאל. הוכחה: יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} מונואיד כזה. לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in M} , הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:M\rightarrow M} המוגדרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=ax} היא פונקציה הפיכה (לפי הצמצום), ולפי הסופיות היא מוכרחה להיות על. בפרט קיים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\in M} כך ש-$ab=f(b)=1$, ובמלים אחרות כל איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא הפיך מימין. בפרט, האיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab=1} הפיך מימין, אבל השוויון מראה שהוא גם הפיך משמאל. כאיבר הפיך מימין ומשמאל הוא הפיך, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא ההפכי שלו. לכן גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הפיך, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} הוא חבורה). ב-1960 נתן Adian קריטריון קומבינטורי על ההצגה, המבטיח שיכון כזה (אבל אינו הכרחי).

מאידך, יש מונואידים עם צמצום (מימין ומשמאל) שאינם ניתנים לשיכון בתוך חבורה (אפילו כזו שאינה חבורת שברים). מלצב נתן סדרה אינסופית של תנאים שמונויד המקיים אותם משוכן בחבורה, והראה שתת-קבוצה סופית של התנאים האלה אינה מספיקה.

מונואידים בתורת ההצגות

מונואידים מופיעים באופן טבעי בתורת ההצגות של חוגים, באופן הבא. יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג. נתבונן במודולים מעל $R$ (עד כדי איזומורפיזם), עם פעולת החיבור שמגדיר הסכום הישר. זוהי פעולה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, עם מודול האפס כאיבר יחידה. תורת ההצגות חוקרת בין השאר מנות של המונואיד הזה, כשהדוגמה החשובה ביותר היא חבורת גרותנדיק שלו, המגדירה את הפונקטור K0.

בהקשר זה הוגדרו כמה תכונות מופשטות של מונואידים, שמתקיימות במונואידים מתורת ההצגות אם מניחים די הנחות על החוג. להלן כמה דוגמאות.

• המונואיד הוא קוני (או מצומצם) אם מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y=0} נובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y=0} .
• למונואיד יש יחידת סדר אם יש בו איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} , כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y=nu} עבור שלם מתאים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .
• המונואיד ניתן לעידון (refinement monoid) אם לכל שוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1+a_2=b_1+b_2} קיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{ij}} כך ש-$a_{i}=x_{i1}+x_{i2},\,b_{j}=x_{1j}+x_{2j}$.
• המונואיד מפריד (separative) אם מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+x=x+y=y+y} נובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y} .

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מונואיד בוויקישיתוף

• מונואיד, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36294068מונואיד (מבנה אלגברי)