חבורת גרותנדיק

באלגברה ובגאומטריה אלגברית, חבורת גרותנדיק היא חבורה אבלית המותאמת לחוג נותרי ומאפשרת לרכז מידע על מבנה המודולים מודול (הפרויקטיביים) מעליו. באופן כללי יותר, החבורה מוגדרת לגבי מונואידים (המקרה הקודם מתקבל על ידי בחירה של מונואיד של מודולים מסוימים מעל החוג) ולגבי קטגוריות מדויקות. את חבורת גרותנדיק ניתן לראות כפונקטור (בין הקטגוריות המתאימות).

החבורה נקראת על שמו של אלכסנדר גרותנדיק.

חבורת גרותנדיק של מונואיד אבלי

כל מונואיד אבלי עם צמצום ניתן לשכן בחבורה אבלית. הדבר נעשה באופן אנלוגי למקרה בתורת החוגים, בו משכנים תחום שלמות בשדה. חבורת גרותנדיק של מונואיד אבלי (לאו דווקא עם צמצום) M היא החבורה האוניברסלית כך שכל הומומורפיזם (של מונואידים) מן המונואיד M לחבורה אבלית מתפצל דרכה.

חבורת גרותדניק של חוגים נותריים

יהי $R$ חוג נותרי. נתבונן באוסף מחלקות האיזומורפיזם של המודולים הנוצרים סופית מעליו ונתאים לכל אחת מהן סמל, כלומר למחלקה של המודול $M$ נתאים את הסמל $[M]$. נגדיר את $C$ בתור החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי הסמלים הללו, ואת $D$ בתור תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הסמלים מן הצורה $[N]-[M]+[K]$ עבור מודולים מסדרה מדויקת קצרה $0\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow K\rightarrow 0$. המנה $C/D$ היא חבורת גרותנדיק, המסומנת בלשון תורת $K$ בתור $K_{0}$.

הערות

• ניתן לחשוב על חבורת גרותנדיק בתור חבורת המודולים הנוצרים סופית מעל $R$ מודולו סדרות מדויקות קצרות, או באופן שקול בתור חבורת המודולים הפרויקטיביים מעל $R$ עם פעולת הסכום הישר - משום שסדרות מדויקות קצרות של מודולים פרויקטיביים מתפצלות.

• הפעולה $R\mapsto K_{0}(R)$ מהווה פונקטור קונטרווריאנטי מקטגורית החוגים הנותריים, המצוידת במורפיזמים סופיים - כלומר, הומומורפיזמים של חוגים $\phi :R\rightarrow S$ עבורם $S$ מודול נוצר סופית מעל $\phi (R)$ - לקטגורית החבורות האבליות, באופן שמעתיק מודול מעל $S$ לעצמו כמודול מעל $R$ (באמצעות צמצום הסקלרים לתמונה).

• אם $R$ שדה, או תחום ראשי אז $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z}$, ונוצרת על ידי $[R]$. ניתן לראות זאת על ידי שמפרקים כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי לסכום ישר של מודול חופשי עם מודול מפותל, ומבחינים כי מודולים (נוצרים סופית) מפותלים מעל חוג ראשי שקולים לאפס בחבורת גרותנדיק.

• $K_{0}(R)$ נוצרת על ידי המודולים הציקליים שאיזומורפיים למנות הראשוניות של $R$. זאת מפני שלכל מודול נוצר סופית מעל חוג נותרי שרשרת תתי מודולים (סופית) שהמנה בין כל שניים עוקבים מביניהם איזומורפית למנה של $R$ באידאל ראשוני כלשהו.

• מעל חוג מקומי, $K_{0}$ חבורה אבלית חסרת פיתול. באופן כללי יותר, $K_{0}(R)$ היא מודול מעל $K_{1}(R)$. אם $R$ מקומי אז המודול הזה חסר פיתול (ראה להלן).

החוג $K_{1}(R)$

כהמשכת הרעיון של חבורת גרותנדיק מגדירים את החוג $K_{1}(R)$. כחבורה חבורית, $K_{1}(R)$ נבנה בתהליך דומה לזה שבו נבנית החבורה $K_{1}(R)$, אלא שכאן מתבוננים מלכתחילה באוסף המודולים השטוחים הנוצרים סופית. הדבר מאפשר להגדיר על $K_{1}(R)$ מבנה של חוג קומוטטיבי, בעזרת פעולת המכפלה הטנזורית מעל חוג הבסיס $R$. מאחר שמכפלה טנזורית במודולים שטוחים שומרת על סדרות מדויקות, פעולת הכפל מוגדרת היטב. באופן זה, חבורת גרותנדיק הופכת למודול מעל $K_{1}(R)$ (פעולת המודול היא מכפלה טנזורית).

הערות

• הפעולה $R\mapsto K_{1}(R)$ מהווה פונקטור קווריאנטי מקטגורית החוגים הנותריים לקטגורית החוגים, המעביר הומומורפיזם $R\rightarrow S$ להומומורפיזם של חוגים המעתיק כל מודול $M$ מעל $S$ למודול $M\otimes _{S}R$.

• אם $\phi :R\rightarrow S$ הומומורפיזם סופי אז $K_{0}(S)$ הופכת למודול מעל $K_{1}(R)$ (באמצעות צמצום הסקלרים), והמורפיזם המושרה מ-$\phi$ הוא הומומורפיזם של מודולים מעל $K_{1}(R)$, כשרואים בו הומומורפיזם $K_{1}(R)\rightarrow K_{0}(S)$.

• אם $R$ מקומי אז $K_{1}(R)\cong \mathbb {Z}$.

• אם $R$ מקומי אז חבורת גרותנדיק מהווה מודול חסר פיתול מעל $K_{1}(R)$. אכן, נשים לב כי $R/I\otimes _{R}M\cong M/IM$ לכל אידאל $I\triangleleft R$. אם $M$ מודול נוצר סופית מעל $R$, שהוא מקומי עם אידאל מקסימלי $m$ ושדה שאריות $k=R/m$ אז אם

$M/mM\cong k\otimes _{R}M=0$ אז מן הלמה של נקאימה מקבלים כי $M=0$.

כעת, אם $M,N$ הם מודולים נוצרים סופית מעל $R$ וגם $M\otimes _{R}N=0$ אז $(k\otimes _{k}M)\otimes _{R}N=0$ ולכן $(k\otimes _{k}M)\otimes _{R}(k\otimes _{k}N)=0$ וכמרחבים וקטוריים או $k\otimes _{k}M=0$ או $k\otimes _{k}N=0$ ואז (כפי שהזכרנו קודם, מלמת נקאימה) או $N=0$ או $M=0$, ובפרט חבורת גרותנדיק היא מודול חסר פיתול מעל $K_{1}(R)$.

• ישנו הומומורפיזם טבעי של חבורות $K_{1}(R)\rightarrow K_{0}(R)$, המעתיק כל מודול לעצמו. אם לחוג $R$ ממד סופי והוא רגולרי, אז הומומורפיזם זה הוא למעשה איזומורפיזם.

לקריאה נוספת

M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra"