מהלך חופשי ממוצע

מהלך תנועת חלקיק

בפיזיקה, ובייחוד בתאוריה הקינטית ובפיזיקה של מצב מוצק, מהלך חופשי ממוצע של חלקיק (אטום, מולקולה, פוטון, פונון) הוא המרחק הממוצע שהחלקיק עובר בין התנגשויות עם חלקיקים אחרים. חישובי מוליכות קוונטית למשל במוליכים למחצה ובננואלקטרוניקה מתבססים על מושג יסודי זה.

הפיתוח המתמטי

איור: צבר מטרות בעובי dx

נניח כי קרן חלקיקים נוריית דרך מטרות (צבועות באדום באיור) וננתח ריבוע בעל צלע L ועובי אינפיניטסימלי dx.

הנוסחה לחישוב הגודל של המהלך החופשי הממוצע תלויה במאפייני המערכת בה נמצא החלקיק. עבור חלקיק עם מהירות גבוהה ביחס לאוסף של חלקיקים זהים בעלי מיקום אקראי, מתקיים הקשר הבא:

$\ell =(n\sigma )^{-1}$

כאשר $\ell$ הוא המהלך החופשי הממוצע, n הוא מספר החלקיקים ליחידת נפח (צפיפות) ו-σ הוא חתך הפעולה האפקטיבי להתנגשות. אם, מצד שני, המהירויות של החלקיקים הזהים הן בעלות התפלגות מקסוול-בולצמן של מהירויות, אזי הקשר הבא הוא התקף:

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}\,$.

חתך פעולה של חלקיק הוא ה"שטח" האפקטיבי של המטרה בה החלקיק יכול להתנגש. שטח הבלוק הוא $L^{2}$. מספר המטרות הטיפוסי בבלוק הוא צפיפות המטרות n כפול נפח הבלוק $L^{2}dx$. ההסתברות שחלקיק יעצר בבלוק שווה לשטח הכולל של המטרות חלקי השטח הכולל של הבלוק.

$P(\mathrm {stopping\ within\ dx} )={\frac {\mathrm {Area_{atoms}} }{\mathrm {Area_{slab}} }}={\frac {\sigma nL^{2}dx}{L^{2}}}=n\sigma dx$

כאשר $\sigma$ הוא השטח (או ליתר דיוק "חתך הפיזור" של החלקיקים).

הירידה בעוצמת קרן החלקיקים שווה לשטף הנכנס כפול ההסתברות שחלקיק יעצר בתוך הבלוק.

$dI=-In\sigma dx$

זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה:

${\frac {dI}{dx}}=-In\sigma \equiv -{\frac {I}{\ell }}$

שפתרונה הוא $I=I_{0}e^{-x/\ell }$, כאשר $x$ הוא המרחק שטייל החלקיק המוקרן דרך הבלוק ו $I_{0}$ הוא שטף החלקיקים ההתחלתי, לפני הפגיעה בבלוק.

$\ell$ נקרא מהלך חופשי ממוצע כי הוא שווה למרחק הממוצע שמטייל החלקיק לפני שהוא נעצר בבלוק.

ההסתברות שהחלקיק יבלע בין x ל x+dx היא:

$dP(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.$

והתוצאה לפי ההגדרת ההסתברות מקיימת את הנוסחא:

$\langle x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{0}^{\infty }xdP(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }dx=\ell$

ערכים אופיינים

מהלך חופשי ממוצע לפוטון

בטבלה הבאה מובאים ערכים אופייניים עבור לחצים שונים.

תחום הריק	לחץ ב-hPa	מולקולות / cm3	מהלך חופשי ממוצע
ריק נמוך	300..1	1019..1016	0.1..100 μm
ריק בינוני	1..10-3	1016..1013	0.1..100 mm
ריק גבוה	10-3..10-7	1013..109	10 cm..1 km
ריק מאד גבוה	10-7..10-12	109..104	1 km..105 km
ריק מאד מאד גבוה	<10-12	<104	>105 km

דוגמאות ושימושים

יישום קלאסי של מהלך חופשי ממוצע הוא הערכת גודלם של אטומים או מולקולות.

יישום חשוב נוסף הוא הערכת ההתנגדות של חומר באמצעות המהלך החופשי הממוצע של האלקטרונים בו.

למשל, עבור גל קול המתפשט בחלל סגור, המהלך החופשי הממוצע הוא המרחק הממוצע אותו עובר הגל בין החזרות סמוכות מקירות החלל.

ראו גם

• ריק