טור חזקות

טוּר חֲזָקוֹת הוא טור הבנוי כסכום של חזקות מ-0 עד אינסוף של נעלם. טורי חזקות יכולים לתאר כל פונקציה אנליטית ומשמשים באנליזה מתמטית, לחישוב ערכן של פונקציות אנליטיות, בגלל הפשטות שבחישוב כל אחד מאברי הטור הדורשת אך ורק שימוש בפעולות אריתמטיות רגילות.

הגדרה

טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה $\ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n} היא סדרה של מקדמים (לרוב אלו מספרים ממשיים או מרוכבים), ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c} היא הנקודה שסביבה מפותח הטור.

רדיוס התכנסות

תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום רדיוס התכנסות לטור חזקות.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n} הוא טור חזקות, אז קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0\le r\le \infty} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |x-c|<r} הטור מתכנס בהחלט, ולכל תת-קבוצה קומפקטית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{|x-c|<r\right\}} הטור מתכנס במידה שווה. כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r=\infty} הטור מתכנס נקודתית עבור כל מספר, והוא מתכנס במידה שווה על כל המרחב אם ורק אם הטור הוא פולינום. אחרת, הטור מתכנס במידה שווה רק על קבוצות חסומות בו.

על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |x-c|=r} לא ניתן בוודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן).

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי נוסחת קושי-הדמר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r = 1/ \limsup_{n\rarr\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} (אם הגבול הוא אינסוף, הטור מתכנס תמיד). נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעיתים קשה לחשב אותה. הנוסחה (דאלמבר) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r = \lim_{n\rarr\infty}1/\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|} נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי; לשם כך הכרחי שכמעט תמיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n \neq 0} ), ולעיתים היא קלה יותר לחישוב.

פעולות על טורי חזקות

חיבור וחיסור

סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=0}^\infty a_i x^i + \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i ) x^i}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=0}^\infty a_i x^i - \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i - b_i ) x^i}

מכפלה

מכפלת טור חזקות בקבוע היא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c \cdot \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty c \cdot a_i x^i}

מכפלת שני טורים:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

גזירה ואינטגרציה

בתוך תחום ההתכנסות ניתן לגזור את טורי החזקות איבר-איבר, וכן גם לבצע עליהם אינטגרציה איבר-איבר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \sum_{i=0}^\infty a_i \left( x-c \right)^i \right) ^\prime (x) = \sum_{i=1}^\infty a_i i \left( x-c \right)^{i-1} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \sum_{i=0}^\infty a_i \left( x-c \right)^i \,dx = \sum_{i=0}^\infty \frac{a_i \left( x-c \right)^{i+1}} {i+1} + C }

לאחר גזירה: אם הטור לאחר הגזירה מתכנס בגבולות אז הטור המקורי גם מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור המקורי התכנס גם הטור לאחר הגזירה יתכנס. לאחר אינטגרציה (כמו בגזירה רק הפוך): אם הטור המקורי מתכנס אז הטור לאחר האינטגרציה מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור לאחר האינטגרציה מתכנס אז הטור המקורי יתכנס.

שימושים

השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות. אם פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)} היא אנליטית בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c} , אז מקדמי טור החזקות סביב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c} שמתאר את הפונקציה בסביבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ c} הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}} . כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.

במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית.

ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן.

טורי חזקות פורמליים

באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך לדוגמה, טור החזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n! x^n} שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.

טורי חזקות מוכללים

לכל שדה F ולכל חבורה אבלית סדורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma} , השדה של טורי החזקות המוכללים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F((\Gamma))} כולל את כל הסכומים הפורמליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{g \in \Gamma} \alpha_g g } שיש להם תומך סדור היטב.

דוגמאות

הפונקציה האקספוננציאלית

הפונקציה האקספוננציאלית ניתנת להצגה כטור חזקות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}} .

ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה- העברת חיבור לכפל, נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון. גם את הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{d}{dx} e^{ax} = a \cdot e^{ax}} אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.

פונקציית סינוס

פונקציית הסינוס ניתנת להצגה כטור חזקות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin{x} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}}

פונקציה רציונלית

ערך מורחב – פונקציה רציונלית

טור החזקות שמקדמיו שווים ל-1 מתכנס לפונקציה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k}

ובמקרה זה טור החזקות מתכנס עם רדיוס התכנסות 1=r כפי שניתן להוכיח בקלות בעזרת משפט דאלמבר שלעיל.

טורים נוספים

לעיתים ניתן למצוא את הפונקציה שאליה מתכנס טור חזקות נתון על ידי ביצוע מניפולציות על הטור הנתון כדי להגיע לטור שידוע לאיזו פונקציה הוא מתכנס, ולאחר מכן ביצוע מניפולציות הפוכות על הפונקציה שהתקבלה, לקבלת הפונקציה שאליה מתכנס הטור המקורי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טור חזקות בוויקישיתוף

• טור חזקות, באתר MathWorld (באנגלית)   
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29477469טור חזקות