אלגברת בנך
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, אלגברת בנך היא מרחב בנך שהוא גם אלגברה (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה. באופן פורמלי, מרחב בנך $ (X,+,\|\cdot \|) $ יחד עם העתקה ביליניארית $ (x,y)\mapsto x\cdot y $ נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:
- $ (X,+,\cdot ) $ הוא אלגברה אסוציאטיבית.
- לכל שני איברים באלגברה מתקיים $ \|x\cdot y\|\leq \|x\|\|y\| $.
אלגבראות בנך קרויות על שמו של סטפן בנך.
דוגמאות
- המספרים הממשיים, כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך. בדומה, המספרים המרוכבים הם אלגברת בנך מעל עצמם.
- המספרים המרוכבים, עם הערך המוחלט כנורמה ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
- אלגברת המטריצות מסדר $ n\times n $ היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
- אלגברת הקווטרניונים היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
- אוסף כל הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי קומפקטי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
- אוסף הפונקציות ההולומורפיות על קבוצה קומפקטית במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
תכונות
- אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית. לכל איבר $ x $ באלגברת בנך ניתן להגדיר את הספקטרום של $ x $ כאוסף כל הסקלרים $ \lambda $ כך ש $ x-\lambda 1 $ איננו הפיך. הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
- באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר $ x $ ולכל פונקציה הולומורפית $ f $ שמוגדרת על הספקטרום של $ x $, ניתן להגדיר את $ \ f(x) $
קישורים חיצוניים
אלגברת בנך28248086Q806066